1. Одномерные колебания однородной струны

Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с линейной плотностью . В этом случае движение каждого из элементов струны происходит лишь в направлении ее длины. При распространении продольной волны на элемент толщиной x (см. рисунок 7.1) действуют силы: слева S(x) и справа S(x+x), где S - площадь поперечного сечения струны, (x) и (x+x) - нормальные упругие напряжения.

На элемент x действует результирующая сила

F= S(x+x) - S(x).

Под действием этой силы элемент x испытывает смещение.

Обозначив u(x,t) смещение центра масс элемента x, запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение его движения

Sx= S(x+x) - S(x),

здесь Sx=m - масса элемента x, а - ускорение. Уравнение можно переписать в виде

 =.

При x0 оно перейдет в уравнение

 =.

Согласно закону Гука для изотропных твердых тел

=Е,

где Е - модуль упругости (модуль Юнга), - деформация в точке.

Отсюда

= Е= Е .

Тогда уравнение движения для смещения u(x,t) окончательно примет вид

=.

Это обычное волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны. Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей монохроматической волны:

u=u₀exp[i(kx-t)]= u₀ sin 2 (x/-νt)= u₀sin(kx-t)

где u₀ - амплитуда колебания, ν - частота колебаний,  = 2ν - круговая частота, t - время,  - длина волны, k = 2/ - волновое число.

После подстановки последнего выражения в волновое уравнение получим дисперсионное соотношение

.

Из дисперсионного соотношения следует, что для упругой волны, распространяющейся в неограниченно протяженной струне, частота колебаний линейно зависит от волнового числа (см. рисунок 7.2).

При этом скорость распространения волны для данного материала - величина постоянная. Для железной струны (E=2,110¹¹ Па, =7,810³ кг/м³) имеем =510³ м/с.

Как видно из рисунка 7.2, модуль волнового числа может меняться от 0 до , а следовательно, частота колебаний меняется непрерывно от 0 до . Поскольку энергия Е=2πhω, то энергия колебаний может неограниченно возрастать. Это противоречит физическим представлениям о строении кристаллической решетки. Следовательно, модель струны является слишком грубой вследствие предположения о непрерывности распределения вещества в объеме кристалла. Поэтому рассмотрим случай дискретного распределения вещества.

2. Колебания цепочки одинаковых атомов

В качестве одномерной модели твердого тела рассмотрим цепочку из n одинаковых атомов с массой М и межатомным расстоянием , которые могут перемещаться вдоль прямой линии (см. рисунок 7.3).

Каждый атом в такой системе обладает одной степенью свободы, а вся система -N степенями свободы.

Допустим, что в момент времени t = 0 мы сместили из положения равновесия атом с номером n = 0 на расстояние u₀. Так как атомы в цепочке связаны друг с другом силами связи, то такое возбуждение распространится по цепочке в виде волны сжатия, и все остальные атомы сместятся из своих положений равновесия.

Пусть u_n(x, t) - это смещение в какой-то момент времени n-го атома относительно его положения равновесия в точке с координатой x_n=n∙. Если смещения атомов из положения равновесия малы по сравнению с расстоянием, то силы межатомного взаимодействия можно считать квазиупругими (согласно закону Гука, они пропорциональны смещениям). Атомы в цепочке как бы связаны между собой упругими пружинками, каждая из которых характеризуется упругой постоянной С, а смещениеu_n описывает колебания атома вблизи положения равновесия.

Найдем уравнение движения n-го атома. Будем считать, что каждый атом взаимодействует лишь с ближайшими соседями, которые оказывают на него наиболее сильное влияние. Влиянием более удаленных атомов будем пренебрегать. Рассмотрим силы, действующие на n-й атом. Исходя из предположения о взаимодействии с ближайшими соседями, силы, действующие на n-й атом можно представить в виде результирующей силы:

.

где  - силовая постоянная, которая связана с упругой постоянной С=.

Зная выражение для силы, запишем закон движения n-го атома:

.

Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей волны:

u_n=u₀exp[i(k∙n∙-∙t)]= u₀∙exp[i(k∙х_n-∙t)].

Здесь u₀ - определяет смещение атома с n = 0 в момент времени t = 0,  - круговая частота, k = 2/- волновое число.

Подставим решение в уравнение движения n-го атома:

.

Из данного выражения следует дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в цепочке из одинаковых атомов:

.

Поскольку  не может быть отрицательной величиной, минус соответствует области отрицательных значений k (см. рисунок 7.4).

Из анализа закона дисперсии следует, что при значении волнового числа , т.е. при коротких длинах волн=2а, циклическая частота колебаний достигает максимального значения =_max=.

Оценим величину _maxk, где - скорость распространения акустических волн. Можно считать, что=510³ м/с. Если принять для твердых тел =310^-10 м, то 10^-10 м^-1 и _max510¹³с^-1, что по порядку величины соответствует частотам тепловых колебаний атомов в твердых телах.

При малых значенияхk (при длинах волн, значительно больших расстояний между атомами в цепочке)  зависит от k линейно, как и для случая непрерывной упругой струны с линейной плотностью.

Таким образом, отличие дискретной цепочки от непрерывной струны заключается в отсутствии пропорциональности между частотой  и волновым числом k. Это связано с дисперсией волн. Короткие волны, которым соответствует более высокая частота колебаний частиц, вследствие инерции масс частиц распространяются медленнее, чем длинные волны. Наличие дисперсии волн проявляется в отклонении кривой =(k) от линейной зависимости, справедливой для упругой струны. Цепочка из одинаковых атомов ведет себя в отношении распространения акустических волн как упругая струна только лишь при длинах волн >>2.