§4. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами − концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью  покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

где − точность оценки,n − объем выборки, t − значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором ; при неизвестном (и объеме выборки n < 30)

где s − «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t_ находят по таблице по заданным n и .

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения  нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

s(1 − q) <  < (1 + q) (при q < 1),

0 <  < s (1 + q) (при q > 1),

где q находят по таблице по заданным n и .

3. Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал (с приближенными концами p₁ и p₂)

p₁ < p < p₂,

где

где n − общее число испытаний; m − число появлений события; w − относительная частота, равная отношению ; t − значение аргумента функции Лапласа, при котором ( − заданная надежность).

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

Тема 6. Оценка независимой вероятности событий по частоте

§1. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону A.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится при помощи специально подобранной случайной величины — критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия: ² («хи квадрат») К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Рассмотрим применение критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений, в этом состоит его достоинство). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

A. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости , проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить непосредственно (при малом числе наблюдений) или упрощенным методом (при большом числе наблюдений), например методом произведений или сумм, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение_B;

2. Вычислить теоретические частоты

где п − объем выборки (сумма всех частот), h − шаг (разность между двумя соседними вариантами),

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия

i	ni		ni 	(ni  )2	(ni  )2/
1	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…
9	…	…	…	…	…
	…	…	…	…

б) по таблице критических точек распределения ², по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы k = s − 3 (s − число групп выборки) находят критическую точку правосторонней критической области.

Если − нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно). Если .− гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Замечание 1. Малочисленные частоты (n_i < 5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле k = s − 3 следует в качестве s принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Б. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов (x_i, x_i+1) и соответствующих им частот n_i (n_i — сумма частот, которые попали в i-й интервал):

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

Правило 2. Для того чтобы при уровне значимости  проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить, например методом произведений, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение_B, причем в качестве вариант принимают среднее арифметическое концов интервала:

.

2. Пронормировать X, т. е. перейти к случайной величине , и вычислить концы интервалов:, , причем наименьшее значение Z, т. е. z₁, полагают равным , а наибольшее, т. е. z_s+1, полагают равным .

3. Вычислить теоретические частоты

,

где п  объем выборки (сумма всех частот); Р_i = Ф(z_i+1)  Ф(z_i)  вероятности попадания X в интервалы (x_i, x_i+1); Ф(Z)  функция Лапласа.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона

б) по таблице критических точек распределения ², по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы k = s  3 (s  число интервалов выборки) находят критическую точку правосторонней критической области .

Если  нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Если — гипотезу отвергают.

Замечание 2. Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (п_i < 5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. Если производилось объединение интервалов, то при определении числа степеней свободы по формуле k = s  3 следует в качестве s принять число интервалов, оставшихся после объединения интервалов.