§12. Предмет метода Монте − Карло

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т. д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины.

Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:

М(Х) = а.

Практически поступают так: производят п испытаний, в результате которых получают п возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое

и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а:

Поскольку метод Монте — Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

Отыскание возможных значений случайной величины X (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».

§13. Понятие о законе больших чисел.

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закона больших чисел.

Лемма Чебышева. Если X – неотрицательная случайная величина и M(X) – ее математическое ожидание, что для любого A > 0 имеет место неравенство

P(X > A) 

или

P(X  A)  1 –

Если случайная величина имеет дисперсию D(X), то для любого  > 0 имеет место неравенство Чебышева:

P(|X – M(X)| > ) < 1 –

или

P(|X – M(X)|  )  1 – (1)

Если случайная величина распределена по биномиальному закону, то неравенства Чебышева принимают более простой вид:

(2)

где M частота, а M/n – частость.

В неравенстве (1) разность |X – M(X)| есть отклонение случайной величины X от ее математического ожидания. Поэтому неравенство Чебышева утверждает: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине положительного числа , не меньше разности между единицей и дробью, числитель которой – дисперсия случайной величины, а знаменатель – квадрат .

Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если случайные величины в последовательности X₁, X₂, X₃, …, X_n, … попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию

то для любого  > 0

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Т.е. если  − сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство