§2. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов x_i  x_i+1 . и соответствующих им частот п_i, причем п_i = n (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, приняв в качестве «представителя»i-го интервала его середину составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра  показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (x_i ,  x_i+1) по формуле

4. Вычислить теоретические частоты:

,

где n = п_i  объем выборки.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s  2, где s  число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s  число интервалов, оставшихся после объединения.

§3. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону

Произведено п опытов. Каждый опыт состоит из N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же. Регистрируется число появлений события А в каждом опыте. В итоге получено следующее распределение дискретной случайной величины X  числа появлений события А (в первой строке указано число x_i появлений события А в одном опыте; во второй строке  частота п_i, т. е. число опытов, в которых зарегистрировано x_i появлений события А):

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении дискретной случайной величины X по биномиальному закону.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина X (число появлений события А) распределена по биномиальному закону, надо:

1. Найти по формуле Бернулли вероятности Р_i появления ровно i событий А в N испытаниях (i = 0, 1, 2, ..., s, где s  максимальное число наблюдавшихся появлений события А в одном опыте, т. е. s ≤ N).

2. Найти теоретические частоты

,

где п  число опытов.

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты по критерию Пирсона, приняв число степеней свободы k = s  1 (при этом предполагается, что вероятность р появления события А задана, т. е. не оценивалось по выборке и не производилось объединение малочисленных частот).

Если же вероятность р была оценена по выборке, то k = s  2. Если, кроме того, было произведено объединение малочисленных частот, то s  число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

§4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов x_i1  x_i и соответствующих им частот п_i, причем (объем åп_i = n выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.

Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X, т. е. по закону

надо:

1. Оценить параметры а и b  концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через a* и b* обозначены оценки параметров):

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения

3. Найти теоретические частоты:

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s  3, где s  число интервалов, на которые разбита выборка.