Вычисления по формуле (4.2) заканчивается когда модуль разности между двумя последовательными приближениями достигает заданной малой величины. Описанный алгоритм называется последовательной параболической интерполяцией. Доказано, что в области, где f ′′(x)> 0 , он схо-

дится к точке минимума со скоростью приблизительно равной 1,324.

Для функций, не являющихся унимодальными, метод последовательной параболической интерполяции может сходится как к точкам минимумов, так и максимумов. Кроме того возможна локализация точек перегиба функции, в которых f ′(x)= 0 и f ′′(x)= 0 . В этом случае, как и в методе

Ньютона, начальные приближения следует выбирать вблизи точки искомого минимума.

Метод золотого сечения

Помимо рассмотренных выше методов, основанных на аппроксимации минимизирующей функции, существует также группа методов прямого поиска, на основе которых лежит определенный способ систематического сужения интервала значений аргумента, заключающего точку минимума – интервала неопределенности. Для унимодальных функций эти методы характеризуются гарантированной сходимостью, хотя и являются достаточно медленными. Из них мы рассмотрим наиболее широко исполь-

зуемый метод золотого сечения.

Пусть минимизируемая функция f (x) является унимодальной на отрезке [a0 ,b0 ], который можно рассматривать как исходный интервал неоп-

31

на отрезке [α,b0 ]. Теперь он является новым интервалом неопределенности. В противном случае интервал неопределенности – отрезок [a0 ,β]. В любом случае одна из точек α или β остается внутренней точкой нового интервала неопределенности. Ее целесообразно использовать на следующем шаге итерационного процесса локализации минимума и вычислять уже не два новых значения функции, а только одно. Это возможно, если новый интервал неопределенности точками α или β разбивается на отрезки в том же отношении, что и исходный интервал.

Вопрос о разбиении интервала неопределенности является центральным, поэтому его следует рассмотреть подробнее. Как было сказано выше, после первого шага итераций интервал неопределенности стягивается в отрезок [α,b0 ] или [a0 ,β]. Так как точка минимума с равной вероятностью

может оказаться на каждом из этих отрезков, то коэффициент дробления интервала неопределенности для них должен быть одним и тем же

Далее без потери общности можно допустить, что f (α)< f (β), то есть отрезок [a0 ,β] – новый интервал неопределенности, а точка α – внутренняя точка интервала. Так как после второго шага итераций интервал итераций может стянуться в отрезок [a0 ,α], то коэффициент дробления можно записать в виде отношения

Равенства (4.3) и (4.4) позволяют однозначно определить величину ξ. Для этого числитель дроби (4.4) преобразуем к виду

α −a0 =b0 − a0 −(b0 −α)=b0 − a0 −(β− a0 ).

32

Здесь второе равенство записано с учетом того, что b0 −α =β−a0 , как это следует из соотношения (4.3). Теперь вместо (4.4) нетрудно записать выражение

1ξ −1 = ξ,

которое после приведения к общему знаменателю сводится к квадратному уравнению относительно коэффициента дробления интервала неопределенности

ξ2 + ξ−1 = 0 .

Это уравнение имеет положительный корень

Теперь, воспользовавшись равенствами (4.3), нетрудно определить положение точек α и β

α = ξa0 +(1−ξ)b0 , (4.5)

β =(1 −ξ)a0 −ξb0.

Понятно, что основными в итерационном процессе метода золотого сечения являются следующие этапы.

1.Если f (α)< f (β), то b0 =β, β = α, f (β)= f (α), а значение α вычисляется по первой формуле (4.5) (см. рис.4.1)

2.Если f (α)> f (β), то a0 = α, α =β, f (α)= f (β), а значение β вычисляется по второй формуле (4.5) (см. рис.4.2).

После выполнения N итераций, на которых придется вычислить N −1 значение минимизируемой функции, ширина интервала неопределенности dN будет равна

dN = 0,618N d0 ,

где d0 – ширина исходного интервала. Итерации прекращаются при достижении величиной dN заданной точности вычислений. В качестве оценки точки минимума функции можно принять середину последнего интервала неопределенности.

33

Заметим, что золотым сечением называется такое деление отрезка на две неравные части, при котором отношение длины наименьшей части к длине наибольшей равно отношению наибольшей части к длине всего отрезка. Пользуясь формулами (4.5) нетрудно показать, что на каждой итерации α и β являются точками золотого сечения для интервала неопределенности. Это обстоятельство и определило название описанного метода оптимизации.

Задания

1.Найдите значения максимума и минимума функции f (x)= x(x −1)2 .

2.Найдите значения максимума и минимума функции f (x)= x2x+1 .

3.Найдите значение минимума функции f (x)= e−xsh x .

2

4. Найдите значения максимума и минимума функции

f(x)= x4 −14x3 +60x2 −70x .

5.Найдите точки минимума функции f (x)= e−x −cos x .

6.Найдите значение минимума функции f (x)= 12 x2 −sin x .

7.Найдите значение минимума функции f (x)= e−x ln (x) в интервале

[0,2].

ле [0, 1].

12.Найдите значение минимума функции f (x)= ex sin x −1.

34

f (x)=sin((x +1)3 ) .

35