МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

Составители:

А.Н.Обухов

С.А.Колесников

Б.Н.Горшунов

Высшая математика

Методические указания,

индивидуальные и тестовые задания

для студентов-заочников

инженерно-технических специальностей

Утверждено на

заседании метод.совета

Протокол № от

Краматорск 2006

УДК 517

Высшая математика: Методические указания, индивидуальные и тестовые задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей /Сост. А.Н.Обухов, С.А.Колесников, Б.Н.Горшунов. – Краматорск: ДГМА, 2006 – 76 с.

Данные методические указания содержат в кратком виде основной теоретический материал по курсу высшей математики, изучаемый в первом триместре, для студентов технического направления. Приведены образцы решения контрольных заданий. Указана тематика и характер примеров для рейтингового тестирования модулей.

Составители: А.Н. Обухов, доц. каф. высшей математики, С.А. Колесников, доц. каф. высшей математики, Б.Н. Горшунов, ассистент каф. высшей математики.

Отв. за выпуск В.А. Паламарчук, доц. каф. высшей математики.

1 Методические рекомендации по разделам

1-ГО ТРИМЕСТРА

1.1 Аналитическая геометрия

Литература [2, гл. 2, § 1-6, гл. 3;

5, ч.1, гл. 1-4, гл. 5; § 24 – 36;

6, гл. 2; 7, ч.1, гл. 1-3, ч. 2, гл. 1-5].

Длина отрезка (расстояние между точками) определяется по формуле

,

где М₁ (x₁, y₁, z₁), М₂ (x₂, y₂, z₂) – координаты данных точек.

Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид

,

где точка M(x₀,y₀,z₀) принадлежит прямой, а m, n, p – координаты вектора .

Угол между прямыми находим как угол между направляющими векторами по формуле

где - скалярное произведение векторов;

- произведение длин направляющих векторов.

Скалярное произведение векторов:

; ;.

Формула длины вектора :

.

Угол между прямой

и плоскостью -

где

Уравнение плоскости через три точки имеет вид

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, выходящих из одной вершины:

.

Прямая на плоскости определена следующими параметрами:

а) двумя точками - M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂):

;

б) точкой и вектором нормали:

.

в) точкой и направляющим вектором :

г) угловым коэффициентом k и точкой:

; .

д) отрезками, которые отсекает прямая от осей координат (a,b):

.

Все уравнения приводятся к виду

- общее уравнение прямой.

Условие параллельности двух прямых - .

Условие перпендикулярности двух прямых -

.

Пример 1. Даны уравнения трех прямых на плоскости: l₁, l₂, l₃. Требуется доказать, что прямые образуют прямоугольный треугольник, и найти уравнение высоты, проведенной из вершины М_2,3.

l₁: x – 2y = 2; l₂ : 8x + 4y = 36; l₃: x + y = 7.

Решение. Найдем нормальные векторы:

, ,.

Вычислим скалярное произведение следующих векторов:

Так как , то прямыеl₁ и l₂ перпендикулярные.

Найдем координаты вершины М_2,3.

Так как высота, проведенная из вершины М_2,3 перпендикулярна к прямой l₁, то нормальный вектор этой прямой является направляющим для высоты.

.

Пример 2. Уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду, определить ее основные характеристики, сделать чертеж.

Решение. =>

=>=>– каноническое уравнение эллипса, центр которого находится в точкеМ₀(–3, 2); полуоси равныа= 2,b= 3. Вычислим расстояние от центра до фокусов по формуле:

. Для данной кривой выполняется соотношение b>a, поэтому координаты фокусов эллипса равны:,.