Возьмём теперь 'V f: > О. В соответствии с определением предела по­f:

следовательности для М > О, :3 N l' 'V n 2 N 1 выполняется неравенство:

f:

а -а\<-.

n 2М

f:

Точно также для \а1 > о :3 N 2' \j n ;:> N 2 выполняется неравенство:

f:

\Ь_П -Ь\<2\а\'

Пусть N = тах {N l' N 2 } • В силу неравенства (3) 'V n 2 N получаем:

Итак, мы показали, что 'V f: > О :3 N, 'V n 2 N

а . Ь - а . Ь\ < f: .

n n

Замечание. Приведённое выше доказательство предполагает, что а 1: О.

Читателю предлагается убедиться в справедливости утверждения 30 и в слу-

чае, когда а = О .

Предельный переход в последовательностях, члены которых связаны неравенствами

Теорема 5. Пусть члены двух сходящихся последовательностей {а_п} и {Ь_П} , начиная с некоторого номера по' удовлетворяют неравенству: а_п ~ ы₁•

Тогда

lim а_п ~ lim Ь_П'

11-7^ОÎ 11-700

ыI9.!~'-!I~прfIJ3-Q •. Обозначим lim а_п = а, lim Ь_П = Ь и предположим

П-7^ОÎ 11-700

противное утверждению теоремы, то есть, что а > Ь .

а-Ь Согласно определению предела последовательности для f: = -- > о 2

:3Nl' 'Vn2N₁: Ь_П <Ь+Е. Также :3N₂, 'Vn2N₂: а_l1 >а-Е.

Положим N = тах {п О' N l' N 2}' Тогда 'V n 2 N выполняются неравен-

ства: а_l1 ~Ьп' b₁₁ <Ь+Е И а_п >а-Е. Из них следует, что а-Е<Ь+Е. а-Ь

Таким образом, f: > --. Пришли к противоречию с выбранным выше зна-

2

чением Е. Следовательно, должно быть а ~ Ь.

11

_\

_\

Теорема 6. Пусть члены последовательностей {а}, {Ь_П} и {Сп}, начи­ная с некоторого номера по' удовлетворяют неравенствам

а_п :::; СП :::; Ь_п•

Если при этом lim а_п = lim Ь_п = а, то сходится и последовательность {Сп},

n--too n--tco

причём lim сп = а.

n--too

..

Д_QIS'!1'-!I~П!?fJ13-Q.. Возьмём \j Е > о. Повторяя рассуждения из доказа­тельства теоремы 5, получим, что 3N, \j п ~ N выполняются неравенства

а - Е < СП < а + Е, то есть \ сп - а\ < Е. Таким образом, Нгп с, = а.

n--tco

~. Так как в формулировке теоремы 6 не предполагается схо­димости последовательности {Сп}, то эта теорема не является прямым след-

ствием теоремы 5.

Пределы специальных последовательностей

Здесь мы найдём пределы некоторых важных последовательностей, ко­торые часто встречаются как в теоретических исследованиях, так и при ре-

шении задач.

Для доказательства указанного равенства положим а_п = ~ -1 и за­метим, что \j а_п ~ о. Пользуюсь биномом Ньютона, можем записать нера-

венство

n--tco

П n (n -1) 2

1 + а_п ~ а_п

2

(1)

Но (1 + а_п у = n. Поэтому из (1) следует, что а, ,; ~ 2 .

n-l

Так как lim ~ 2 = О, ТО из нсравенства (2) и того, ЧТО \j а_о 2> О, п-э » n -1

теореме 6 (о трёх последовательностях) получаем, что lim а_п = о.

п--tXJ

(2)

по

Достаточно рассмотреть случай, когда а > 1. Так как \j n > а выпол­няются неравенства 1 < ;{;;. < ~, то остаётся воспользоваться равенством, доказанным в п. 10 и теоремой 6 .

12

₍

₎

(4)

п!

Так как О < q < 1, то из (4) следует доказываемое равенство.

Лекция N!! 8

Тема «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ».

При изучении пределов тригонометрических выражений очень часто удобно пользоваться фунда-

~ ~ ~ Z· smx 1

ментальнои теоремои, по которои zm _- = .

Х->О Х

Гюнтер Н.М, Кузьмин р.о., "Сборник задач по высшей математике", 19472.

Начнем с двух лемм элементарного содержания. п

Лемма 1. Если 0< х < -, то

2

sin х < х < tg х .

(1)

Доказательство леммы про водится геометрически путём рассмотрения единично] тригонометрического круга.

п Лемма 2. Если О < \х\ < -, то 2

sшх

О<l--<\Х\ (2)

х

n

Д_Q~С!~С!I~J_I!>.9I_!З_Q.. Предположим сначала, что О < х < 2 . Разделив каждую

часть в двойном неравенстве (1) на sil1 х > О, получим:

13

То есть

SШХ< 1. cosx <

х

Отсюда

зш х

О < 1 - _- < 1 - cos х . (3)

х

Далее оценим выражение, полученное в правой части (3). Так как

. х 1 .2^Х. Х

< Sln - < , то Sln - < SШ -. Поэтому

2 2 2

1 - cos х = 2 sin 2 х< 2 sin х .

2 2

. х х

Но в силу первого из неравенств (1) получаем, что: зш - < -. Поэтому 2 2

х

1- cos х < 2 - = х. 2

л

Таким образом, если О < х < -, то имеет место оценка

2

1- cosx < х.

(4)

п Возвращаясь к неравенствам (3), получаем, что если О < Х < - , то 2

SШХ

0< 1- _- < х. (5)

х

1t 1t

Пусть теперь - - < Х < о. Тогда 0< -х < - и в силу (5) можем записать

2 2

неравенство

sin(- х]

< - < -х.

-х

То есть

sшх О<l---<-х.

х

Полученные при соответствующих предположениях неравенства (5) и (6) означа

(6)

1t

ют, что при 0< \х\ < - имеет место неравенство (2).

2

Теперь легко доказывается Теорема.

14

_О

_Î

₁

lim sшх = 1.

Х-+О х

(7)

n ыIs~~т~п.!>s:]'А.Q •. Из леммы 2 следует, что при 0< \х\ < 2 имеет место

неравенство

sln х -1 < \х\. х

(8)

Обращаясь к определению предела функции по Коши, из неравенства (8) непосредственно получаем равенство (7), которое называется первым замеча-

тельным пределом.

Из полученного в ходе доказательства леммы 2 неравенства (4) выводится

(см. конец доказательства леммы 2) более общее неравенство. Именно, если

0< \х\ < n ,то О < 1- cos х < \х\. Отсюда, в частности, следует равенство

2

lim cos х = 1. Таким образом, функция cos х непрерывна в точке х = о.

Х-+О

Следствие 1.

(9)

Действительно,

lim_tg_x = lim_si_n_x ._1_ = lim_SI_n_x -Нгп 1 = 1. 1 = 1.! = 1.

Х-+О х Х-+О cos х lim cos х 1

Х-+О

Х-+О Х

х

cosx

. tg2x _l]_ри_м~шJ-~ Вычислить предел 11т . 5 Х-+О Sln х

tg2x

. tg2x 21· 2х

1т = _ 1т ---=. =-=---

Х-+О sin 5х 5 Х-+О sш 5х

5х

. tg2x lт--

2 Х-+О 2х

5 1. sin 5х lт---

Х-+О 5х

2 1 2 515

ЛекцияМ14

Тема: «МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ».

Определение 1,Функция У = f (х) называется постоянной на ин­тервале Ja, Ь[ , если во всех его точках она принимает одно и то же значение.

15

₁

₁

Замечание. Формулировка условия необходимости в теореме 1 не со­держит предположения о дифференцируемости рассматриваемой функции. Указанное свойство вытекает из того, что f(x) = const.

Определение 2. Функция У = f(x) называется возрастающей на ин­тервале ]а, Ь[, если

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует большее значение функции).

Определение 3. Функция У = f (х) называется убывающей на ин­тервале ]а, Ь[, если

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует меньшее значение функции).

График возрастающей функции простирается вправо и вверх, а график убывающей - вправо и вниз.

Определение 4. Функция У = f(x) называется неубывающей на ин­тервале ]а, Ь[, если

х] < Х₂ (х., Х₂ Е ]а, Ь[) ::::/ У_! = f(x]) ~ у 2 = f(xJ

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует не меньшее значение этой функции).

График неубывающей функции про стирается вправо и не вверх. Ясно, что любая возрастающая функция является неубывающеЙ. Обратное утвер­ждение неверно.

Qпpеде.[IеНJ:Iе_2. Функция у = f(x) называется невозрастающей на

интервале ]а, Ь[, если

(то есть большему значению независимой переменной из рассматриваемого интервала соответствует не большее значение этой функции).

16

Так как ftc) > О и Х₂ - Х₁ > О, то f(x₂) - f(x₁) > О. Таким образом, f(x_j) < f(x₂)·

Аналогично доказывается

Теорема 3. Если f '(Х) < О 'v Х Е ]а, Ь[, то функция f(x) убывает на

интервале ]а, Ь[.

Теорема 4. Для того чтобы функция f(x) была неубывающей на ин-

тервале ]а, Ь[, необходимо и достаточно, чтобы 'V х Е ]а, Ь[ выполнялось

неравенство f'(x) ~ О.

Теорема 5. Для того чтобы функция f(x) была невозрастающей на ин-

тервале ]а, Ь[, необходимо и достаточно, чтобы 'V х Е ]а, Ь[ выполнялось неравенство f'(x)::; О .

QJ:uL~еление {i. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрест­ности точки Ха' Говорят, что f(x) имеет в точке Ха максимум, если най-

дётся такая проколотая окрестность этой точки U(x_a, е), что V х Е U(x_a, е) выполняется неравенство

(1)

При этом Ха называют точкой максимума функции f(x), а значе­ние функции в этой точке - максимальным и пишут: f(x_o) = f_шàõ .

ОП12~ение 7. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрест­ности точки ха' Говорят, что f(x) имеет в точке Ха минимум, если най-

17

•

дётся такая её проколотая окрестность U(x_a,8), что \fx Е U(X_a,8) выпол­няется неравенство

f(x) > f(x_a) .

(2)

При этом ха называют точкой минимума функции f(x), а значе­ние функции в этой точке - минимальным и пишут: f(x_a) = f_tnin•

Точки максимума и точки минимума объединяются термином - точки экстремума функции. При этом говорят, что в точке ха функция f(x) имеет экстремум (достигает экстремума).

Необходимое условие экстремума функции

Теорема 6 (П. Ферма). Пусть ха - точка экстремума функции f(x).

Если f(x) дифференцируема в точке Ха' то имеет место равенство

(3)

Д_QIS~'!I~п.РfI13_Q. Предположим противное. Пусть, например, ха -

точка максимума функции f(x) и при этом f'(xa):F- о. Предположим, для

определённости, что f'(x_a) > о. Так как

'( )=1· f(x)-f(x_a)

ха цп ,

X~XO х- х

а

то по свойству предела функции найдётся такая про колотая окрестность U(x_a,8) точки ха, что \f х Е U(x_a, 8) выполняются одновременно два не­равенства: (1) и

f( х) - f(x а)> о .

х-х_а

(4)

Если в указанной про колотой окрестности взять точку х > Ха' то придём К противоречию.

Достаточные условия экстремума функции

Выполнение равенства (2) не влечёт за собой наличия экстремума у функции f(x) в точке Ха. В качестве контрпримера предлагается рассмот-

реть функцию f(x) = х ' В точке Ха = о.

18

_f

Qпределение ~. Точка х_о' для которой выполняется равенство (3), называется стационарной точкой (точкой, подозрительной на экстремум)

функции f(x).

Теорема 7 (l-е правило). Пусть функция [(х) дифференцируема в не­которой проколотой окрестности точки Х_о' Если ['(х) меняет знак при пере­ходе через х_о' то х_о - точка экстремума функции [(х). При этом, если

а) знак меняется с "+" на " б) знак меняется с" "на

"

то х_о - точка максимума. то х_о - точка минимума.

"+" ,

Если [(х) не меняет знака при переходе через точку х_о' то х_о не яв­ляется точкой экстремума функции [(х).

Теорема 8 (2-е правило). Пусть х_о - стационарная точка функции [(х)

и [(х) имеет производную 2-го порядка в этой точке. Тогда

а) если f"(x_o) > О, то х_о - точка минимума функции f(x); б) если ['(х_о) < О, то х_о - точка максимума функции f(x).

Если ['(х_а) = о, то для исследования функции [(х) на экстремум в точке х_о нужно привлечь производные более высоких порядков.

Лекция М 15

Тема «ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИЙ. АСИМПТОТЫ ЛИНИЙ».

Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконеч-

ность.

Фихтенгольц ГМ, "Курс дифференциального

и интегрального исчисления ". 1969г.

Асимптоты графика функции

Приведём сначала общее определение асимптоты линии на плоскости. Определение 8_,_ Пусть линия Г содержит точки, расположенные сколь угодно далеко от начала координат. Прямая линия L является асим­птотой линии Г, если неограниченное удаление от начала координат те­кущей точки М( Х, У) Е Г влечёт за собой стремление к нулю расстояния от

этой точки до L, то есть (рис. 1)

(1)

19

х

Рис. 1

Известно, что в аналитической геометрии все прямые линии на плоско­сти согласно форме записи их уравнений можно разбить на два класса: на­клонные и вертикальные. Такая же классификация вводится для асимптот

графиков функций.

Вертикальные асимптоты графика функции

Определение 2" Пусть функция f (х) определена, по крайней мере, в одной из односторонних про колотых окрестностей точки а. Прямая линия х = а является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если

имеет место хотя бы одно из следующих четырёх равенств:

10. lim f(x) = -00;

x~a-O

5. lim f(x) = +00;

х-э а=О

30. lim f(x) = -00 ;

x~a+O

40. lim f(x) = +00.

x~a+O

Замечание. Из сказанного следует, что если прямая х = а есть верти­кальная асимптота графика функции у = f(x), то точка а является точкой разрыва 2-го рода этой функции. Поэтому при нахождении вертикальных асимптот графика функции нужно рассмотреть точки её разрыва.

Например, прямая х = -1 является вертикальной асимптотой графика 1

функции у = --. Действительно, в точке а = -1 выполняются равен-

х+ 1

Прямая х = 2 является вертикальной асимптотой графика функции

1 20 40

У = I l' так как в точке а = 2 выполняются равенства и .

х-2

Приведём соответствующие чертежи, выполненные в среде :J1apfe

(рис.2 и рис.3).

20

Рис. 4

Б

3 У

.,

Здесь только правосторонний предел функции в точке а = -2 является бесконечным. Действительно,

> limit(2^Л(1/(х+2» ,x=-2,right);

Предел слева функции в точке а = -2 равен

> limit(2^Л(1/(х+2» ,x=-2,left);

21

1

Таким образом, у функции у = 2 х+2 не существует предела в точке

а = -2. Этот факт констатирует и Я1арГе (см. ниже).

> limit(2^Л(1/(х+2» ,х=-2);

unde.fined

Наклонные асимптоты графика функции

Теорема 1. Для того чтобы прямая линия L: у = k х + Ь была асим­птотой графика функции [(х) необходимо и достаточно, чтобы выполня­лось хотя бы одно из равенств:

lim [f( х) - k х ] = Ь

X~+<xJ

(2)

или

lim [f(x)-kx] = Ь.

X~-co

(3)

Если для прямой L выполняется равенство (2), то она называется правой наклонной асимптотой графика функции [(х), если (3) - левой наклонной асимптотой.

Д_QIS~'!I~ПРfJ'l3_Q. Воспользуемся известной из курса аналитической геометрии формулой, дающей расстояние от точки до прямой линии на плос­кости.

Следствие. Если прямая линия L является правой или левой наклон­ной асимптотой графика функции [(х), то соответственно выполняется ра­венство

lim [(х)= k

,

(4)

X~+<xJ Х

или

(5)

x~-co Х

Д_QIS~~Т~ПРfJ'13_Q. Пусть, например, прямая L является правой наклон­ной асимптотой графика функции [(х). Тогда из равенства (2) получаем, что

· [(х) - kx О

1111 = ,

X-H:JJ Х

то есть

22

₁

23

lim (f(X) -kJ = о.

Х--НОО Х

Следовательно,

lim [(х) = lim [( [(Х) - kJ + k] = lim (f(X) - kJ + k = 0+ k = k.

Х -+КО Х Х --НОО Х Х --НОО Х

Равенство (4) доказано.

При решении задач приведённые выше формулы используют в обрат­ном порядке. Сначала для данной функции f (Х) пользуются формулами (4) и

(5) для нахождения угловых коэффициентов k соответствующих наклонных асимптот. Затем, подставляя полученные значения k в формулы (2) и (3), находят соответствующие коэффициенты Ь. В результате получаются урав­нения у = k Х + Ь наклонных асимптот.

Если какого-либо из пределов в левых частях формул (2)-(5) не суще­ствует или этот предел оказывается бесконечным, то соответствующей на­клонной асимптоты у графика функции нет.

Наклонную асимптоту L: у = k х + Ь графика функции [(х) назы­вают горизонтальной, если k = О. Таким образом, горизонтальная асимпто­та имеет уравнение вида у = ь и параллельна оси абсцисс.

Ясно, что график функции не может иметь более одной правой наклон­ной асимптоты и более одной левой. Может оказаться, что правой и левой наклонными асимптотами графика функции является одна прямая линия. На­пример, ось абсцисс является правой и левой горизонтальными асимптотами

1 графика функции f (х) = - . х

Ось абсцисс является также левой горизонтальной асимптотой графика

функции [(х) = е". Предлагается убедиться в том, что правая наклонная асимптота у этого графика отсутствует.

2-й семестр

Лекция М1

Тема: «ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ».

Первообразная. Нсопределённый интеграл и его простеЙlllие свойства

Определение 1-, Функция F(x) называется первообразной для функ­ции [(х) на интервале ]а, Ь[, если \j х Е ] а, Ь [ выполняется равенство