Замечания.

1. Единственность образа у для каждого элемента х е х, то есть свойство однозначности является атрибутом понятия отображения.

2. По определению имеет место включение [(х) сУ. Если множест-

ва [(Х) и У не совпадают, то получается, что а priori множество у выбра­но с некоторым "запасом" по отношению к множеству значений [(Х) ото­бражения f (рис.l).

На практике правило Г, осуществляющее соответствие между элемен­тами множеств Х и У, реализуется различными способами. Например, по­средством одного или нескольких аналитических выражений, таблиц. Если Х с R и У = R, то отображение у = [(х) называется функцией действи-

тельной независимой переменной х, принимающей действительные зна­чения у. Рассмотрим примеры.

1. y=f(x)=)16-x⁴•

Здесь соответствие реализуется посредством аналитического выраже­ния (формулы). Для указания области определения Х этой функции исходим

из того, что должно выполняться неравенство 16 - х ' ~ о. Решая его, полу­чаем: Ixl::::; 2. Таким образом, Х = [-2, 2].

Историческая справка. ДО XIX века математики отождествляли поня­тие функции с некоторым аналитическим выражением, при подстановке в которое значений независимой переменной получаются соответствующие значения этой функции. Накопление материала, как в количественном, так и в качественном отношении привело к абстрактной концепции отображения. Выявилась сущность рассматриваемого понятия, состоящая в том, что имеет место соответствие указанного вида между элементами двух множеств.

Определение 2. Графиком отображения у = [(х) называется множе­ство упорядоченных пар вида:

г, ={(х, [(х)) I х ЕХ}.

Если У = [(х) - функция, то её графиком Г, является соответствую­щее множество точек на плоскости с введённой на ней декартовой системой координат.

Взаимно однозначное отображение и обратное отображение

Определение 3. Отображение у = [(х) называется взаимно одно­значным (инъективным) на множестве Х,, где Х₁ с Х, если

5

Имеется простой и наглядный критерий взаимной однозначности функции Г: Х ~ R на множестве Х₁ сХ сR. Именно, каждая горизон­тальная прямая пересекает график этой функции не более чем в одной точке, с абсциссой, принадлежащей X₁• В приведённом выше примере 1 в качестве

множества Х 1 можно взять отрезок [0,2 ] (а также отрезок [-2, о] или части этих отрезков).

Определение 4. Пусть отображение у = [(х) взаимно однозначно на множестве Х₁ с Х. Обратным к этому отображению называется отобра­жение, обозначаемое символом Г¹, которое имеет областью определения множество пх.) и задаётся следующим образом. Каждому элементу

у Е [ (X₁) ставится в соответствие элемент х = [-1 (У) Е Х₁ такой, что

[(х)= У.

Если для рассмотренной в примере 1 функции взять Х₁ = [о, 2] , то [(X₁) = [о, 4] . Обратная функция [-1 (У) находится из равенства

у = .J16 - х" путём выражения переменной х через переменную У. в ре­зультате получается, что х = ~16 - у². Таким образом, [-1 ( У) = ~16 _ у² .

Приведём ещё nример из курса линейной алгебры. Рассмотрим ото­бражение [: R n ~ R n, задаваемое квадратной матрицей n -го порядка А. Если матрица А невырожденная, то (как следует из правила Крамера) отображение Г является взаимно однозначным на всем линейном простран­стве R n. При этом обратное отображение [-1: R n ~ R n реализуется по-

средством обратной матрицы А -1.

Если данное отображение [ не является взаимно однозначным на множестве Х,, то обратное к нему отображение (на соответствующем мно-

жестве [(X_j)) не определено. Действительно, пусть X₁' Х₂ Е Х_] такие, что

Х₁ 1: Х₂ И [( Х₁ ) = [( х ,}. По правилу, данному в определении 4, элементу у = [( X₁) = [( Х₂) Е [(X_j) должен быть поставлен в соответствие, как эле­мент Х₁ Е Х,. так и элемент Х₂ Е Х₁ • Таким образом, не выполняется свойст­во однозначности, которому должно удовлетворять отображение [-1.

Сложная функция

Продемонстрируем эффективность использования в данном случае специализированных программных средств.

б

n раз

х

f_n (х), если f(x) = ) .

1 + х '

:Р~1Ц~!-Iл.~.. Найдём сначала выражения функций f₂ (х) = f (f (х)) и

f_з (х) = f(f(f(x))). Вводя в программу ?r1.apГe выражение данной функции [(х), будем иметь:

> f:=x->х/sqrt(1+х^Л2) ;

f [2] : =f (f (х) ) ; simplify(f[2] ,symЬolic) ;

х

fz:=------~====~

~~ v lTlJ

х

а также

> f:=x->х/sqrt(1+х^Л2) :

f[З] :=f(f(f(x»); simрlifу(f[З] ,symЬolic) ;

х

J1 + 3 х²

Анализируя полученные для функций f₂ (х) и f_з (х) выражения, можно предположить, что имеет место формула

(п = 1,2, ... ) .

(1)

Докажем её методом математической индукции. Для n = 1 эта форму­ла справедлива. Убедимся, что из (1) следует формула

7

Вновь обращаясь к программе :МарГе, получим:

> f: =x->x/sqrt (1+х^Л2) ; fn:=x->х/sqrt(1+n*х^Л2) ;

f (n+l) : =f (fn (х) ) : simplify(f(n+l) ,symЬolic) ;

х

f := х -э -----===

~

х

fn := х -+ ----;====

~ 1 +n х²

х

Остаётся сгруппировать слагаемые под корнем полученного выраже-

ния:

1+(n+l)х²

Лекция М2

Тема «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ».

Теоремы о СХОДЯLЦихся последовательностях

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. ДQIS~(J!~П!>fJ'13_Q. Воспользуемся методом reduction ad absurdum (при­ведение к нелепости, лат.). Предположим противное, то есть существует схо­дящаяся последовательность {а} такая, что lim а_п = а и lim а_п = Ь, при-

п~оо п~оо

чём а 7= Ь.

Не теряя общности, будем предполагать, что Ь > а. Положим

Ь-а

Е = --. Так как Е> О, то в соответствии с определением предела после-

2

довательности ::J N₁, \:j n 2: N₁ выполняется неравенство:

(1)

Точно так же ::J N 2' \:j n ~ N 2 выполняется неравенство:

8

(2)

Пусть N = max{NI'N₂}. Тогда 'v'n 2 N выполняется каждое из нера­венств (1) и (2). Поэтому 'v'n 2 N можем записать цепочку равенств и нера-

венств:

Ь - а = \Ь - а\ = 1 (а_п - а) + (Ь - а_п )1 ~ \а_п - а\ + \Ь - а_п \ = Ь-а

= \а_п - а\ + \а_п - Ь\ < S + S = 2· S = 2· -2- = Ь - а.

в результате пришли к абсурдному неравенству: Ь - а < Ь - а.

Теорема 2. Если lim а_п = а, то lim \а_п \ = \а\.

п~оо п~оо

ы_I&~~I~~pfI13_Q.. Достаточно воспользоваться определением предела последовательности и свойством абсолютной величины действительного

числа, выражаемым неравенством: I\a_n \-\a\1 ~ \а_п - а].

Qпределение 2-,- Последовательность {а_п} называется ограниченной,

если :3 М > О, 'v'n Е N: \ а_п \ ~ м .

( 1)П

Например, последовательность а, = 2 + является ограниченной.

n

тельность Ь_п = n² не является ограниченной в силу аксиомы Архимеда. Ни­же приводится эта аксиома, в её исторической (а именно, геометрической) формулировке.

Ак.~.I:ШМ.:;\ .. АР..~ИМ.~А?. Для любых двух отрезков ненулевой длины, по­вторив один из них слагаемым достаточно большое число раз (конечное), мы

получим отрезок длины большей другого отрезка.

Применим аксиому Архимеда к двум отрезкам, один из которых имеет

длину, равную 1, а другой, равную произвольно выбранному числу М > О. Получим, что все натуральные числа, начиная с некоторого, больше М.

Теорема 3. Если последовательность сходится, то она ограничена.

rloX~~T~~pf:_r_!3_o_. Пусть

( 1 У ( 1)11

Действительно, 2 + - ~ 2 + - = 2 + _!_ ~ 3 'v'n Е N. Последова-

ппп

lim а_п = а.

п~:о

Полагая S = 1 в определении предела последовательности, получаем, что :3N, 'v' n 2 N: а -1 < а_п < а + 1.

9

\а_l1 .b_I1-а.Ь\=\(а_l1-а) ы₁ +(ы₁ -Ь) а\::;; :=; \a_l1-а\.\ы₁+\ьI₁ -ь\.\а\:=;м\а_l1 -а\+\Ь_I1 -ь\·\а\.

(3)

10