BIS3_matem_org_ua

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0 2x 3 10 x 2 5 12 x x 2 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

б)

x 3x

14 x 2x 4 3x 14 2x2 12x 14 0

x2 6x 7 0 .

Найдем корни квадратного трехчлена

x2 6x 7

: x 1,

x 7 .

Приходим к квадратному неравенству x 1 x 7 0 ,

которое можно ре-

шить методом интервалов.

х"

Следовательно, x 1,

7 ;

У2x

в)

3 2 2 6

2 2x 1

, т.е.

, .

.ua

3-го порядка:

Пример 1.4. Вычислить определителим .org

а)

1 ; matem

б)

4е

1а 2

«правилом треугольников» (см. формулу (1.4)

Решение. Воспользуемсяе

и рисунок на с.

ф6).

2 2 3 5 2 4 3 1 1 4 2 1 5 3 3 1 2 2

а)

5 2

12 40 3 8 45 4 10;

a a a 1 1 a 1 1 a a a a 1 1 a

б)

a 1

1 1 a a3 a a a3 a a 4a .

Пример 1.5. Решить уравнения:
	1	3	x			3	x	4
	1	3	x			3	x	4
а)	4	5	1	0;	б)	2	1	3	0 .
	2	1	5			x 10	1	1

Решение. Раскрывая определители по «правилу треугольников» (см. пример 1.4), приходим к алгебраическим уравнениям: линейному в случае а) и квадратному в случае б).

			1	3			x	0 25 4x 6 10x 1 60 0
			1	3			x
а)			4	5 1
																																"
			2	1			5																							У
			2	1			5																						Г
																												Н
																												Н
																											"
								14x 42 0																	З					x 3;
								14x 42 0													14x						42			x 3;
																								У
																							В
	3					x		4														Г
	3					x		4													и
б)	2				1			3												к
б)	2				1			3		0 3 8 3x иx 10 4 x 10 2x 9 0
																		т
		x 10			1			1							е		а				ua
		x 10			1			1							т	м			.
11 3x																			.									24x 60 0

							30x 4x 40м2x 9org0 3x
						2									а	.										2
						2					ы			matem												2
											ы			matem
													й
x2				8x									е
x2				8x			20 0 . Решая полученное квадратное уравнение (см. при-
											с	x2 10 .
мер 1.2б), находим:								x1 в2 ,				x2 10 .
								а
								р
	Пример 1.6д. Решить неравенства:
						е
					ф
					ф
				а
				К	2			1											2			x 2						1
				3	2			1											2			x 2						1
	а)			1			x 2				2;					б)			1				1					2			0
				1			2	1											5				3					x
	Решение. Раскрываем определители 3-го порядка и решаем полученные
неравенства.
			3	2				1
			3	2				1
а)			1	x 2					2 3x 2 4 x 12 2 2
			1	2			1
				2x 8 2								2x 6									x 3 или								x 3, ;

2x 3 10x 20 5 12 x2 2x 0 x2 10x 24 0

x2 10x 24 0.

Корни

полученного

квадратного трехчлена

x1 4

и x2 6 отложим на числовой оси и воспользуемся методом интер-

валов.

"Н

4, .

Следовательно, решение неравенства:

x ,

1.2. Основные свойства определителей

перечисленные ниже свойства немед-

Для определителей 2-го порядкат

ленно следуют из формулы (1.2). Можном .orgпоказать, что они справедливы также

для определителей любого порядкай .

1. Величина определителя не изменится, если его строки при сохранении

того же порядка следования сделатьmatemстолбцами:

a11

a12

a11

a21

a22

a12

a22

меняет знак, если две его строки (или два столбца) по-

2. ОпределительК

менять местами:

a11

a12

a21

a22

3. Определитель равен нулю, если две его строки (или два столбца) оди-

наковы:

a11

a12

0 .

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда (строки или столбца) можно вынести за знак определителя:

ka11

ka12

a11

a12

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы двух его

параллельных рядов пропорциональны:

a11

ka11

a11

6. Если все элементы какого-либо ряда определителя можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель можно записать в виде суммы

двух определителей:

а h

a h

hГ

а21

a22

а21

a22

а21

a22

7. Величина определителя не изменится, еслиВк элементам одного из его

рядов прибавить соответствующие элементы параллельногои

ряда, умноженные

на произвольное число:

ма

.ka

ua21 12

org

matem

Пример 1.7. Не раскрывая определители, доказать справедливость ра-

венств:

а 1

дb c

а)

0 ;

б)

0 ;

а2 aф ab ac

a1 a2

b1 b2

c1 c2

	sin2	cos2
	sin2	cos2
в)	sin2	cos2
	sin2	cos2

cos 2			0	a	b
cos 2			0	a	b
cos 2	0 ;	г)	a	0	c	0 .
cos 2			b	c	0

Решение: а) элементы второй строки определителя имеют общий множитель a , который согласно свойству 4 можно вынести за знак определителя:

а 1

b c

а 1

b c

а 1

b c

а2 a

ab ac

а a 1

a b c

a 1

b c

В результате получили определитель, у которого две строки совпадают. Величина такого определителя равна нулю (см. свойство 3, подраздел 1.2), что и доказывает нужное равенство.

Можно было воспользоваться и свойством 5, так как после вынесения множителя a за скобки во второй строке очевидно, что соответствующие элементы строк определителя пропорциональны;

б) по свойству 6 данный определитель можно представить в виде суммы:

a1 a2

b1 b2

c1 c2

Первое слагаемое обращается в нуль,

так как первая и третья строки

совпадают (свойство 3), а второе слагаемое равно нулю, поскольку элементы

второй и третьей строк пропорциональны (свойство 5). Равенство доказано;

в) вычитая из элементов второго столбца соответствующие элементы

первого столбца, мы не меняем величины определителяВ

(свойство 7):

sin

cos

cos 2

sin

cos 2

cos

sin

cos

cos 2

sin

cos

sin

cos 2

е2

sin

cos

cos 2

org

cos

sin

cos 2

sinт

matem

sin

cos 2 , поэтому по-

Из тригонометрии известное , что cos

следний определитель можношпереписать так:

в 2

cos 2

sin

cos 2

sin2

cos 2

т.е. получили определитель, у которого второй и третий столбцы совпадают,

следовательно, он равен нулю (свойство 3);

г) вынесем из каждой строки определителя множитель 1 :

0 a

1 3

a b

a 0 c

0 c

a 0 c

b c

c 0

Определитель, стоящий справа, получается из исходного заменой его строк соответствующими столбцами. Согласно свойству 1 при такой операции

величина определителя не меняется. Таким образом, если обозначить заданный определитель через , последнее равенство можно переписать так:

0 .

Пример 1.8. Вычислить данный определитель, предварительно добившись, чтобы все его элементы, стоящие под главной диагональю, обратились в нуль.

Решение. Для приведения определителя к треугольному"виду (под глав-
																									У		7.	Сначала
ной диагональю – нулевые элементы) воспользуемся свойствомГ																											7.	Сначала
																								Н	элементом			a11 1,
добьемся, чтобы элементы первого столбца, стоящие под"																									элементом			a11 1,
																							З
																							У
обратились в нуль. Для этого из элементов второй строки вычтем соответст-
вующие элементы первой строки, умноженные																						Вна число			2, а к элементам
																					Г
																				и
третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на число 3:
																		к
																	и
																	и
																т
					1				4						а						1		4	2
			2 2				6 8						е3 4 ua0										2 7			.
												т		м			.
			3 3				2		12			т		.org6						0			10	1
			3 3				2		12				7	.org6						0			10	1
											а
							с			м
										м
										matem
									й
								е													22
							ш														22	2 , к элементам третьей
Чтобы получить нулевой элемент под a																						2 , к элементам третьей
строки прибавим соответствующиеы												элементы второй строки, умноженные на
число 5 :						в
					а
				р
				р
			д			1		4				2								1			4	2
		е				1		4				2								1			4	2
	ф						2						7						0			2 7			.
а		0					2						7						0			2 7			.
К					0		10 10				1 35								0				0	36
					0		10 10				1 35								0				0	36

В результате определитель приведен к треугольному виду. Очевидно, величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали:

1.3. Миноры и алгебраические дополнения.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Минором Mij элемента aij определителя называют определитель, который получается из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij ).

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя называют его минор, взятый со знаком 1 i j , т.е.

											A 1 i j M																ij	.								(1.5)
												ij															ij								"
																																		У
																											0			1			Н2	Г
																											0			1			Н2	Г
Пример 1.9.																											2			3			"			M 21,
Пример 1.9.				Дан определитель																							2			3		З 1		. Вычислить		M 21,
																															У
																													В				3
																											5Г4						3
M33 , A12 и A22 .																										и
																										и
																							и
																					т			к
Решение. Чтобы найти минор M																					т
Решение. Чтобы найти минор M																				а, необходимо в определителе вы-
																		м					и.uaраскрыть получившийся опреде-
																		21
черкнуть вторую строку и первый столбеце
литель 2-го порядка.														м		т				org
литель 2-го порядка.															а				.
					ы								matem
					ы								matem
												1					2
						21						й
					M	21		е												3					8 5.
					M															3					8 5.
							ш				4				3
						с					4				3
						с					M33 в определителе вычеркиваем третью
Для получения минорав											M33 в определителе вычеркиваем третью
				а	:
строку и третий столбецр					:
			д									0			1
			д
		е			M33												0 2								2.
	ф				M33							2			3		0 2								2.
а												2			3
К
К
Аналогично находятся миноры M12 и M 22 ,																																после чего можно вычис-
лить алгебраические дополнения A12 и A22 по формуле (1.5):
A 1 1 2 M									12				1 3									2					1				6 5 1;
A 1 1 2 M													1 3									2					1				6 5 1;
12																							5				3
																							5				3
A				1 2 2 M						22				1 4									0				2				0 10 10 .
A				1 2 2 M										1 4									0				2				0 10 10 .
22																							5				3
																							5				3

Теорема (о разложении определителя). Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

В частности, для определителя 3-го порядка (1.4) вследствие сформулированной теоремы выполняются следующие равенства:

a11A11 a12 A12									a13 A13 ;							a11A11 a21A21 a31A31;
a21A21 a22 A22									a23 A23 ;							a12 A12 a22 A22															a32 A32 ;							(1.6)
a31A31 a32 A32									a33 A33 ;							a13 A13 a23 A23															a33 A33 .
Формулы (1.6) называют разложением определителя по элементам соот-
																															"
ветствующей строки (или столбца).																														У
ветствующей строки (или столбца).																										1			2Г 3
																										1			2Г 3
																												Н
																											"
Пример 1.10. Вычислить определитель																										З			1		2			,	разложив его
Пример 1.10. Вычислить определитель																										2			1		2			,	разложив его
																								В		У		1			4
																								В		3		1			4
																							Г
																							Г
по элементам а) первой строки; б) третьего столбцаи .
																						к						собой разложение оп-
Решение: а) первая из формул (1.6) представляети																												собой разложение оп-
																е				т		ua
ределителя по элементам первой строки. Имеема
															т		м				.
																					.
a	A	a A						a																		2		1
a	A	a A						a			A 1 1.org											1 2				2		1				1 2				2 2
	1 3	2				1			ы					а				1 1				1 2										1 2				2 2
	1 3	2		12		1			ы			13		matem
11	11			12		12			13			13		м								1 4														3	4
													й									1 4														3	4
												е
										ш
										ш
3 1									с							8 6 3 2 3 6 4 15 13;
3 1		3				1		в1 4 2 2								8 6 3 2 3 6 4 15 13;
		3				1		а
						р
						р
					д
				е
			ф
б) разложение определителя по элементам третьего столбца имеет вид
		а						a13 A13 a23 A23 a33 A33 .
	К							a13 A13 a23 A23 a33 A33 .
Следовательно,
3 1 1 3							2		1		2 1 2 3								1			2			4 1 3 3								1		2
3 1 1 3							2		1		2 1 2 3								1			2			4 1 3 3								1		2
							3		1										3			1											2		1

3 2 3 2 1 6 4 1 4 15 14 12 13.

Пример 1.11. Вычислить определители, разложив их по элементам того ряда, который содержит наибольшее количество нулей.

	3	4	5			0	2	4
	3	4	5			0	2	4
а)	0	2	0	;	б)	16 14 15			.
	6	7	8			0	3	5

Решение: а) разложим определитель по элементам второй строки, так как она содержит наибольшее количество нулевых элементов. Соответствующая формула имеет вид

a21A21 a22 A22 a23 A23 .

Таким образом,

					0 A21 a22 A22 0 A23 a22 A22
														2 2			3				5																						"
																																											"
												1																	24					30							У
																																									У
									2																															Г
									2																2														12
																		6			8																	Н
																		6			8																"
																																					"
																																					З
																																			У
	б) вычислим определитель, разложив его по элементам первого столбца:
																																		В
											a11A11 a21A21																						Г
											a11A11 a21A21																					a31A31
																															и
																															к
или																												и
или							0 A11 a21A21																			т								a21A21
																										т
																									а0					A31
																						е									ua
																					т		м						.
									16				1								т			.org16 10												12				32
									16				1			2 1				а				.org16 10												12				32
																2 1			2		4
																			м																			.
																			matem																			.
											ы								matem
																й			3			5
												с			е
	Пример 1.12. Решитьшуравнение
										в						2				7					1
										в						2				7					1
								а
						р															4				2
					д										4					x				x					0 .
				е											4					x				x					0 .
				е
			ф													1				6					1
		а														1				6					1
		а
		К		Раскроем определитель по элементам второй строки, которая
	Решение.			Раскроем определитель по элементам второй строки, которая
содержит степени переменной x :
	2	7			1															1 2 1							7 1							x4 1								2 2		2 1


	4 x4			x2			0 4
	1	6			1																						6					1												1	1
	1	6			1
x2 1 2 3				2 7							0 4 7 6 x4 2 1 x2 12 7 0
x2 1 2 3				2 7							0 4 7 6 x4 2 1 x2 12 7 0
				1				6

x4 5x2 4 0 .

Получили биквадратное уравнение, которое сводится к квадратному

подстановкой x2 t . Имеем	t2 5t 4 0 t 4, t		2	1. Возвращаясь
		1
к переменной x , получаем четыре корня исходного уравнения:
x1,2 4 2,		x3,4 1 1.

1.4. Понятие об определителях высших порядков

Определитель п-го порядка имеет вид:

a11

a12

a1 j

a1n

a21

a22 a2 j

a2n

НГ

(1.7)

ai1

ai2

aij

З.

ainУ

an1

an2

anj

ann

(см. подраздел 1.3) опре-

Согласно теореме о разложенииеопределителя.ua

org

делитель п-го порядка равен суммеапроизведений элементов какой-либо стро-

ы ijmatemij

ки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

i 1,2,...,n ;

(1.8)

j 1

aij Aij

j 1,2,...,n .

(1.9)

i 1

Формулу (1.8) называют разложением определителя по элементам i -й строки, а формулу (1.9) по элементам j -го столбца.

Например, разложение определителя 4-го порядка по элементам первой строки получается из формулы (1.8), если i 1, а n 4 :

a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a A

a A .

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.06.20154.7 Mб656Anabolicum.pdf
#
10.11.20184.8 Mб5Avtomatika.docx
#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб1Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx