![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
BIS5_matem_org_ua
.pdf![](/html/2706/830/html_HTO1kn6Ctx.NwKb/htmlconvd-1YbqC61x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/830/html_HTO1kn6Ctx.NwKb/htmlconvd-1YbqC62x1.jpg)
Министерство образования и науки Украины Национальный горный университет
Библиотека иностранного студента
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л.И. Бойко |
|
|
|
|
|
|
" |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А.М. Мильцын |
|
|
|
У |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В.И. Павлищев |
" |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МАТЕМАТИКА |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
а |
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частьм .org5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭЛЕМЕНТЫАНАЛИТИЧЕСКОЙ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ы |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вГЕОМЕТРИИ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
(в примерах и задачах) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учебное пособие
Днепропетровск
НГУ
2008
УДК 514.12 (075.8) ББК 22.151.5я73 Б 77
Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 09.10.2007).
Бойко Л.Й., Мільцин А.М., Павліщев В.І.
Б 77 Математика. У 14 ч. Ч.5. Елементи аналітичної геометрії (у прикладах і |
||||||||||||||||||||||||
задачах): Навч. посібник. –Д.: Національний гірничий університет, 2008. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
– 84 с. – Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
рівня складності з |
|
Посібник має близько 100 типових задач середньогоУ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
. Орієнтований на |
розв’язуванням, методичними вказівками та рекомендаціямиГ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
організацію системної підготовки й самопідготовкик |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Розглядаються пряма лінія на площиніти, криві другого порядку, площина, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пряма лінія у пространстві, а також на поверхнім |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для студентів – іноземних гром дян, |
а також для студентів – громадян |
|||||||||||||||||||||||
України, що вчаться на всіх |
|
|
|
|
. |
|
|
|
очно, заочно, дистанційно, за |
|||||||||||||||
спеціальностяхм |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вечірньою формою та екстерноме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
р |
100 типовых задач среднего уровня сложности с |
|||||||||||||||||||||
Пособие содержитд |
|
|||||||||||||||||||||||
решениями, методическимиф |
указаниями и рекомендациями. Ориентировано на |
|||||||||||||||||||||||
а |
|
|
подготовки и самоподготовки. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
организацию системнойК |
|
|
|
|
|
Рассматриваются прямая линия на плоскости, кривые второго порядка, плоскость, прямая линия в пространстве и на поверхности.
Для студентов – иностранных граждан, а также для студентов – граждан Украины, обучающихся на всех специальностях очно, заочно, дистанционно, по вечерней форме и экстерном.
УДК 514.12 (075.8) ББК 22.151.5я73
Л.Й. Бойко, А.М. Мільцин, В.І. Павліщев, 2008
Національний гірничий університет, 2008
Содержание
Предисловие .........................................................................................................
1.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ .......................................................................
1.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки ..............................................................................................
1.2.Уравнение прямой в отрезках.
Взаимное расположение двух прямых ............................................
2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ....................................................................
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
2.1. Общее уравнение кривой второго порядка. Окружность ................. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
2.2. Эллипс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.3. Гипербола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
.............................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|||
2.4. Парабола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
||
2.5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы ..................... |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. ПЛОСКОСТЬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
м |
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ |
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. ПОВЕРХНОСТИ |
|
|
|
с |
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
.............................................................................................. |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.1. Цилиндрические поверхностиш |
.............................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.2. Поверхности .........................................................................вращенияы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Поверхности второго порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонические .............................................дуравнения поверхностей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
5
5
10
18
18
27
36
46
54
60
66
74
74
74
76
85
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых, информатика и вычислительная техника, машиностроение и металлообработка.
Соответствует проекту НГУ об издании серии «Библиотека иностранного студента», авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета
профессор |
Бузило |
В.И. и |
|
директор |
ИЗДО |
|
профессор |
Рыбалко" |
А.Я. Серия |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
к решению задач |
|||
содержит четырнадцать справочно-практических руководствГ |
|||||||||||||||||||||||||||||
по математике. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"Н |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
Объем и содержание 5-й части «Элементы |
Заналитической геометрии» |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
отвечает общему курсу высшей математики. Включает элементы теории, |
|||||||||||||||||||||||||||||
задачи, методические указания к решению и, собственнои |
, решение задач. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Работая |
с |
|
учебным |
пособием, |
|
т |
|
|
|
|
научатся |
распознавать |
и |
||||||||||||||||
|
с удентыи |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
описывать |
аналитически |
|
различные |
м |
|
|
|
|
|
|
объекты, |
а |
именно: |
||||||||||||||||
|
геометрические |
|
|||||||||||||||||||||||||||
прямую линию, кривые второго порядкате |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
, плоскости и поверхности. Освоят |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
расположения, узнают условия |
||||||||
решение задач по определению взаимного.org |
|
||||||||||||||||||||||||||||
параллельности |
и |
перпендикулярностий |
|
|
прямых, |
плоскостей и |
прямой |
с |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостью. Научатся классифицировать поверхности и интерпретировать их |
|||||||||||||||||||||||||||||
геометрически. |
|
Получат |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знания |
|
по |
алгебраическим |
||||||||||||
|
ыдополнительныеmatem |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнениям первого и второго порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Состав |
и |
|
|
|
д |
|
|
|
подачи |
материала |
|
позволяет |
планировать |
и |
|||||||||||||||
|
структура |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оперативно |
|
|
|
ф |
|
|
|
|
общие и индивидуальные контрольные |
тестовые |
|||||||||||||||||||
формировать |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нагрузку и |
самостоятельную |
работу, |
||||||||||||||
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
задания, распределять аудиторную |
диагностировать усвоение учебного материала, вести контроль знаний и прогнозировать результаты.
Учебное пособие издано на русском языке, что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования.
4
1.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
1.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение Ax + By +C = 0 , |
(1) |
где А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой. Вектор n = ( A, B) , перпендикулярный к данной прямой, называется
нормальным.
Если С = 0, то прямая проходит через начало координат.
Если А = 0, то прямая параллельна оси ОХ. При В=0 прямая параллельна оси OY. Если А = С = 0, то получаем y = 0 – уравнение оси ОХ. При В = С = 0
имеем x = 0 – уравнение оси OY. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение прямой, записанное в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = kx +b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь k = tgϕ , |
|
где |
|
ϕ |
|
– |
|
|
угол |
|
|
|
к |
|
|
|
прямой и положительным |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
между |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлением оси ОХ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y |
|
) в данном |
|
Уравнение прямой, проходящейеч рез данную точку A(x |
A |
A |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
направлении (с заданным угловым |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
) записывается в виде |
||||||||||||||||||||
мкоэффициентом.org |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
y − y ш= k(x − x |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Его также называютауравнением пучка прямых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Уравнения (2) |
|
р |
|
|
определяют любую прямую на плоскости кроме |
|||||||||||||||||||||||||
ди (3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одной, параллельнойфоси OY. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(xA, yA ) и |
|
УравнениеКпрямой, проходящей через две заданные точки |
||||||||||||||||||||||||||||||
B( xB , yB ) , имеет вид |
|
|
|
x − xA |
|
|
|
|
y − yA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
xB − xA |
|
|
yB − yA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Построить прямую 3x −2 y +6 = 0 .
Решение. Для построения прямой достаточно знать какие-либо две ее точки, например, точки ее пересечения с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью ОХ можно получить, если в уравнении прямой принять y = 0. Тогда имеем 3x +6 = 0 , т.е. x = −2 .
Таким образом, имеем точку A(−2;0) .
5
![](/html/2706/830/html_HTO1kn6Ctx.NwKb/htmlconvd-1YbqC67x1.jpg)
Точка В пересечения прямой с
осью ОY |
имеет абсциссу x = 0 ; |
|
следовательно, ордината точки |
В |
|
находится |
из уравнения −2 y +6 |
= 0 , |
т.е. y = 3.
Таким образом, B(0;3) (рис. 1).
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
3x −2 y +8 = 0 . |
|||
|
Задача 2. Построить прямую, определяемую уравнениемЗ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Запишем уравнение |
в видек |
|
y = |
|
x |
+4 . |
Далее |
возьмем, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
например, x1 = 0 и x2 = −2 , находим |
м |
|
|
y2 |
=1. Через точки |
M1(0;4) и |
|||||||||||||||||||||||
y1 |
= 4 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 |
(−2;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проводим прямую (рис. 2). те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
Рис. 3 |
6
![](/html/2706/830/html_HTO1kn6Ctx.NwKb/htmlconvd-1YbqC68x1.jpg)
Задача 3. Построить прямую, определяемую уравнением 3x +2 y = 0 .
Решение. Так как в уравнении отсутствует свободный член, то прямая проходит через начало координат. Найдем еще одну точку. Полагая, например, x = 2 , находим y = −3. Проводим прямую через начало координат и точку А(2;-3) (рис. 3).
Задача 4. Написать уравнение прямых, проходящих через точку А(-1;2) параллельно координатным осям.
Решение. В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a
и b определяют координаты нормального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|||||||||||||||||||
вектора к прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||
|
|
n = (a,b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||||||||
Если прямая параллельна оси ОХ, то |
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n = (0, b) . |
Тогда |
|
|
уравнение |
|
|
прямой |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|||
by + c = 0 |
или |
y = |
|
|
|
1 |
Учитывая, |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
= c . |
а |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
что прямая проходит через точку А(-1;2), |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
то уравнение ее y = 2 (рис. 4). |
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Аналогично |
|
получаем |
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
уравнением |
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
||
прямой, проходящей |
|
через |
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
точку А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
параллельно оси Oy : x =1. |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
квадрата находится в начале, а точка пересечения |
|||||||||||||||||||
Задача 5. Одна из вершина |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
е |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
его диагоналей – в точкед S(−1;1) . Составить уравнение сторон квадрата. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
КВ квадрате диагонали делятся пополам точкой их пересечения |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 5). Из равенства векторов |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
OS |
SB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
следуют равенства их проекций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
OD = DA, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OE = EC. |
|
|
|
A = −2,C = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отсюда |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда имеем уравнения сторон квадрата:
AO : y = 0; OC : x = 0; BC : y = 2; AB : x = −2.
Рис. 5
7
![](/html/2706/830/html_HTO1kn6Ctx.NwKb/htmlconvd-1YbqC69x1.jpg)
Задача 6. Даны две точки прямой. Найти ее угловой коэффициент.
Решение. Из рис. 6 очевидно решение. Оно дается формулой
y2 − y1 . x2 −x1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
Г |
У |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
В |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 7. Составить уравнение прямойа , которая отсекает на отрицательной |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
. |
|
|
|
с осью OX угол ϕ = 30 . |
||||||
полуоси OY отрезок, равный 2 единицам, и образуетua |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
matem |
|
|
|
прямой с угловым коэффициентом |
||||||||||||
Решение. Воспользуемся уравнениемй |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2): y = kx + b . |
|
|
|
|
|
ы |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, b = −2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В нашем случае k = tgϕ = tg30 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем искомое уравнениед |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
е |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yа= |
|
|
x −2 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
3x −3y −6 = 0 . |
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Прямая, проходящая через точку A(−2;3) , образует с осью OX угол 135о. Составить уравнение этой прямой.
Решение. Угловой коэффициент прямой k = tg135D = −1. Уравнение прямой, проходящей через точку M0 ( x0 , y0 ) с угловым коэффициентом k имеет вид (3):
y − y0 = k( x −x0 ) . |
|
|
В нашем случае |
|
|
y −3 = −( x + 2) |
или |
x + y −1 = 0 . |
8
![](/html/2706/830/html_HTO1kn6Ctx.NwKb/htmlconvd-1YbqC610x1.jpg)
Задача 9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(−2;5) и образующей с осью OX угол 45о.
Решение. Угловой коэффициент |
искомой |
прямой k = tg45D =1. |
Воспользовавшись уравнением прямой y − y0 = k( x −x0 ) , получаем |
||
y −5 =1( x −(−2)) |
или |
x − y + 7 = 0 . |
Задача 10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(−3;5)
и B(7;−2) .
Решение. Воспользовавшись уравнением |
|
x −x1 |
|
= |
|
|
y − y1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
− x |
|
|
y |
2 |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x −(−3) |
|
|
|
|
|
y −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
y −5 |
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
имеем |
= |
|
|
|
|
|
или |
|
|
= |
, |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 −(−3) −2 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
−7 |
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
откуда 7x +10 y −29 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 11. Точка движется прямолинейно и в некоторые моменты времени |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет координаты (−6;1) и (−4;3) . Написать уравнение ее траектории. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
Точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
|
|
прямой. Используем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A(−6;1) и аB(−4;3) |
лежат |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − y1 |
|
|
|
|
|
|
|
x − x1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
уравнение прямой, проходящейеч рез две точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
Подставим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
2 |
− y |
|
x |
− x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
xmatem+ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
−1 |
|
|
|
|
x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y −ы1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
координаты точек А и В: |
|
|
|
в |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
или y = x + 7 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
а3−1 |
|
−4 |
+ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и C(6;5) . Составить |
||||||||||||||
Задача 12. Даны вершины треугольника A(1;1), B(2;3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины А и найти ее длину. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Найдем координаты середины |
D стороны ВС треугольника по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координатам концов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
B |
+ x |
|
|
|
|
|
2 + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
B |
+ y |
|
|
|
|
|
|
3 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
xD = |
|
|
|
|
C |
= |
|
|
|
|
|
|
= 4 , |
|
|
|
|
|
|
yD = |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
D(4;4) . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Искомое |
уравнение медианы |
|
|
AD |
находим по |
|
формуле |
|
|
|
|
|
x −xA |
|
= |
y − yA |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xD −xA |
yD − yA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
|
y −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
откуда |
= |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
y = x . Длину |
|
|
|
|
AD |
|
|
|
находим по |
|
формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 −1 |
|
4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = ( xD −xA )2 + ( yD − yA )2 . Имеем
d = AD = (4 −1)2 + ( y +1)2 = 2 32 = 3 2 .
9