Вычисление мультипликативного обратного

Решая уравнение вида а·х =1(mod M) может возникнуть вопрос о существовании числа х мультипликативного обрат­ного числу а по модулю N.

Такое число х должно удовлетворять сравнению a · x≡x ·a≡1(mod M) и обозначается как a^-1.

Если M положительное простое число, то для любого простого числа a≥0 существует мультипликативное обратное число a^-1 . Т. е. число a^-1 мультипликативного обратного к числу а существует только тогда, когда числа а и M взаимно просты, а значит НОД(а, М) = 1.

Нахождение мультипликативного обратного числа может проводиться по расширенному алгоритму Евклида, реализованного в виде следующей функции:

Вычисление мультипликативного обратного

Синтаксис: void inv_l (CLINT a, CLINT M, CLINT g ,CLINT a_1);

Вход: a, M (операнды)

Выход: g (наибольший общий делитель чисел а и M)

a_1 (обратный элемент к a mod M, если он существует)

Листинг программы, реализующей вычисление мультипликативного обратного

#include <FLINT.h>

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#define ClintToStr xclint2str_l // Переопределение функции xclint2str_l

int main(int argc, char* argv[])

{

CLINT a,b,c,ed;

CLINT g , a_1 ;

char *s1 =new char;s1="7"; // Строка 10-х цифр

str2clint_l (a,s1,10);//Инициализация строкой

char *s2 =new char;s2="13"; // Строка 10-х цифр

str2clint_l (b,s2,10);//Инициализация строкой

char *s3 =new char;s3="1"; // Строка 10-х цифр

str2clint_l (ed,s3,10);//Инициализация 1

printf("a=%s\n",ClintToStr(a,10,1));

printf("b=%s\n",ClintToStr(b,10,1));

// Наибольший общий делитель (НОД)

gcd_l ( a, b, c);

printf("HOD(a,b)=%s\n",ClintToStr(c,10,1));

// Вычисление мультипликативного обратного

inv_l (a, b, g , a_1);

if( cmp_l( g, ed)==0) printf("x_1= %s\n",ClintToStr(a_1,10,1));

getch(); return 0;

}

Извлечение квадратного корня из а по модулю m

Извлечением квадратного корня из числа а по модулю M является процедура нахождения такого x, для которого справедливо сравнение

x ² ≡ a (mod M)

Квадратный корень, в общем, определен неоднозначно, то есть может существовать несколько квадратных корней из одного элемента, а может не существовать ни одного решения.

Если НОД(а,M) =1 и существует одно решение b такое, что b ≡ a mod M, то число а называется квадратичным вычетом по модулю M.

Если сравнение неразрешимо, то число а называется квадратичным невычетом по модулю M.

Если число M простое, то найти квадратные корни по модулю M довольно просто.

Трудность вычисления квадратных корней по модулю со­ставного числа M определяется тем, известно ли разложение числа M на простые множители. Если разложение неизвестно, то вычис­ление квадратных корней для большого числа M является матема­тически сложной задачей, лежащей в основе безопасности ряда современных криптосистем.

Определение того, является ли число квадратичным вычетом, и вычисление квадратных корней - это две разные задачи, для решения каждой из которых существуют свои методы.

В FLINT/C описана следующая функция, позволяющая совместно с функцией проверки числа на простоту, выполнить извлечение квадратного корня из а по модулю M .

Извлечение квадратного корня из а по модулю M

Синтаксис: int proot_l (CLINT a, CLINT M, CLINT x);

Вход: a (операнд, a ≠ M)

M (операнд, M > 2 – простое, M ≠ a)

Выход: x (квадратный корень из а по модулю р)

Возврат: 0, если а - квадратичный вычет по модулю р,

-1 в противном случае