29 Правила нахождения производная суммы разности произведения отношения функций

Производная суммы и разности

1. (f + g)’ = f ’ + g ’

2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Производная произведения

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Производная частного

30 Таблица производных основных элементарных функций

31 Производ. Слож. Функц

Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически

Пусть y – сложная функция x, т.е. y = f(u), u = g(x), или

              

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

           

Производная функции заданной параметрически.

. 

.

32 Произв и диффер. Высш.Порядк

Пусть теперь производная -го порядкаопределена в некоторой окрестности точкии дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области Dчастную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точкечастные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функцииэти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

  или  

  или  

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка(n — 1), то есть

  .

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

33 Монотон.Диффер.Высш.Функц.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Пусть дана функция Тогда

• функция называетсявозраста́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го возраста́ющей на , если

.

• функция называетсяубыва́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го убыва́ющей на , если

.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

• если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• решить неравенства ина области определения;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

34 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке, то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.

Пояснение: 1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке. 2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке(это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке. 3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке, а своего наименьшего значения в точке(это точка минимума). 4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой. 5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке, а своего наименьшего значения точке(несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум). 6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке(это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке(это точка минимума).

Алгоритм решения задачи. 1) Найти производную функции . 2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение. Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной. 3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала. 4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.