10 Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное
произведение векторов 
и
будем
обозначать как
.
Тогдаформула для
вычисления скалярного произведения имеет
вид 
,
где
и
-
длины векторов
и
соответственно,
а
-
угол между векторами
и
.
Из определения скалярного произведения
видно, что если хотя бы один из умножаемых
векторов нулевой, то .
Скалярным
произведением двух векторов на
плоскости или в трехмерном пространстве
в прямоугольной системе координат
называется сумма произведений
соответствующих координат векторов a
и b.
То
есть, для векторов
на плоскости в прямоугольной
декартовой системе координат формула
для вычисления скалярного произведения имеет
вид
а
для векторов
в трехмерном пространстве
скалярное произведение в координатах
находится как
Свойства.
свойство коммутативности скалярного произведения
;свойство дистрибутивности
или
сочетательное свойство
или
,
где
-
произвольное действительное число;скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен
,
причем
тогда
и только тогда, когда вектор
нулевой.
Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
|
cos α = |
a·b |
|
|a|·|b| |
11 Векторное произведение векторов и его св-ва. Вычисление площадей
Векторным
произведением двух векторов 
и 
,
заданных в прямоугольной системе
координат трехмерного пространства,
называется такой вектор 
,
что
он является нулевым, если векторы
и 
коллинеарны;он перпендикулярен и вектору
и
вектору 
(
);его длина равна произведению длин векторов
и 
на
синус угла между ними (
);тройка векторов
ориентирована
так же, как и заданная система координат.
В
прямоугольной системе координат
трехмерного пространства векторное
произведение есть определитель квадратной
матрицы где
первая строка которой есть орты 
,
во второй строке находятся координаты
вектора
,
а в третьей –
координаты
вектора 
в
заданной прямоугольной системе
координат:
,
антикоммутативность
;свойство дистрибутивности
или 
;сочетательное свойство
или 
,
где 
-
произвольное действительное число.
Площадь параллелограмма образованного векторами a и b равна модулю векторного произведения этих векторов: S = |a × b|
Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
|
S = |
1 |
|a × b| |
|
2 |
12 Смешанное произв. Вектр.и его св-ва
Смешанным
произведением трех векторов 
и 
называется
действительное число, равное скалярному
произведению векторов 
и 
,
где 
-
векторное
произведение векторов 
и 
.
Векторное произведение в координатах имеет вид
а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно
сумме произведений соответствующих координат, поэтому
свойства смешанного произведения:
;
;
Объем параллелепипеда, построенного на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
