1.6. Понятие о геометрически изменяемых и неизменяемых системах
В строительных стержневых конструкциях обычно используют геометрически неизменяемые (ГН) системы. К ним относятся конструкции, в которых при пренебрежении упругими деформациями стержней, расстояние между любыми точками конструкции будет неизменным.
Примером такой геометрически неизменяемой системы является рама, изображенная на рис. 1.4, а. Соединения стержней в ней между собой и с неподвижным жестким основанием жесткие. Если считать стержни рамы недеформируемыми (жесткими), то при воздействии на нее нагрузки все ее точки будут неподвижными.
К геометрически изменяемым (ГИ) системам относятся такие конструкции, которые допускают перемещение точек конструкции даже в том случае, когда ее стержни будут жесткими.
Примером такой системы является конструкция, которая получится из рассмотренной на рис. 1.4, а рамы, если все жесткие соединения стержней станут шарнирными (рис. 1.4, б). Такая система геометрически изменяема, т.к. под действием любой малой горизонтальной нагрузки изменит свое положение на плоскости даже при отсутствии деформации стержней.
Если в геометрически изменяемую шариирно-стержневую систему, изображенную на рис.1. 4, б, поставить раскос так, как это показано на рис. 1.4 в, то, несмотря на отсутствие жестких узлов, она станет геометрически неизменяемой.
Таким образом, если стержневая система имеет только жесткие соединения в узлах, то она геометрически неизменяема.
Наличие шарнирных узлов уменьшает число связей в стержневой системе и при излишнем числе шарнирных соединений может привести к геометрически изменяемой системе.
1.7. Понятие о статически определимых и неопределимых системах
Для определения НДС стержневой системы необходимо найти в каждом сечении стержня:
• три внутренних усилия (
);
• три соответствующих усилиям
деформации (
);
• три перемещения (
).
Перечисленные величины связаны между собой и с внешней нагрузкой соотношениями, известными из дисциплины «Сопротивление материалов».
Для записи этих соотношений рассмотрим
состояния бесконечно малого элемента
,
вырезанного из стержневой системы и
отнесенного к системе координатХ0Z(рис. 1.5).
На элемент действуют распределенные нагрузки вдоль и поперек оси стержня (рис. 1.5, а). На рис. 1.5 показаны положительные направления внешних нагрузок, усилий, деформаций и перемещений.
Указанные девять неизвестных характеристик НДС плоской линейно-
деформированной стержневой системы связаны между собой девятью уравнениями, образующими следующие три группы.
Здесь
- соответственно модуль упругости
при
растяжении (сжатии) и модуль упругости при сдвиговых деформациях (модуль
сдвига). В выражение последнего входит коэффициент Пуассона материала.
коэффициент формы, площадь и момент
инерции
поперечного сечения стержня.
Шесть из девяти уравнений являются
дифференциальными. Это означает, что
для решения системы уравнений для
стержня необходимо иметь шесть граничных
условий - по три на каждом конце каждого
стержня. Этими условиями могут быть
перемещения и усилия на концах стержня:
При решении системы уравнений (1.3) - (1.5) для некоторых стержневых систем неизвестные внутренние усилия в сечениях любых стержней, в том числе и опорных, могут быть определены только из уравнений равновесия (1.3). Такие стержневые системы называются статически определимыми.
Затем из уравнений, соответствующих закону Гука (1.5), определятся деформации и затем из уравнений (1.4) - перемещения.
Для многих стержневых систем определить усилия из решения только уравнений статики (1.3) без привлечения других уравнений системы (1.4) (1.5) не удается. Такие стержневые системы называются статически неопределимыми.
1. При определении усилий в статически определимой системе из уравнений равновесия жесткость ее стержней никак не используется.
Это означает, что при определении усилии в статически определимых системах можно принимать любые численные значения этих параметров, в том числе и считать стержни абсолютно жесткими.
Решение задачи по расчету стержневой системы с целью определения ее НДС начинается с выполнения следующих двух пунктов.
1. Прежде всего, выясняется принадлежность стержневой системы к статически определимым или к статически неопределимым системам. Для этого выполняются две процедуры:
1.1. Подсчитывается «степень статической неопределимости» системы.
1.2. Проводится исследование геометрической неизменяемости стержневой конструкции.
2. Выбирается метод решения задачи по определению НДС стержневой системы.