§ 1.7. Однорідні системи лінійних рівнянь.
Розглянемо систему :
(7.1)
Система (7.1), у якої вільні члени всіх рівнянь дорівнюють нулю, називається однорідною системою лінійних рівнянь. Відмітимо деякі особливості цієї системи. Вона завжди сумісна, так як має, принаймні, один розв’язок :
(7.2)
Якщо ранг
r матриці
системи дорівнює числу невідомих n,
то нульовий розв’язок (7.2) буде єдиним.
Якщо ж
,
то система невизначена, тобто має
нескінченну множину розв’язків. Таку
систему можна розв’язувати методом
Гаусса або за загальною схемою (починаючи
з другого пункту).
Нехай
у системі (7.1) число рівнянь m
дорівнює числу невідомих n.
У цьому випадку матриця А системи буде
квадратною і якщо
,
то система має єдиний нульовий розв’язок,
а якщо
,
то система має нескінченну множину
розв’язків.
Приклад 1.Розв’язати однорідну систему
Розв’язання. Знайдемо визначник матриці системи:
Так як
,
то система має єдиний розв’язок:
