Пряма на площині

8.1 Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і:

а) перпендикулярна до вектора ; б) паралельна до вектора ; в) утворює з віссю кут ; г) точку .

2. Вказати особливості розташування прямих на площині:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

2. Дано вершини трикутника . Знайти:

а) рівняння сторони ; б) рівняння та довжину висоти ; в) рівняння та довжину медіани ; г) точку перетину висоти і медіани ; д) рівняння прямої , що проходить через точку паралельно стороні .

Розв’язок. а) рівняння сторони складемо, використовуючи рівняння (8.13) – прямої, що проходить через дві точки:

що рівносильно

або

– канонічне рівняння прямої ( ).

Запишемо рівняння прямої в загальному вигляді: , ( ).

Запишемо рівняння прямої у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом: , .

б) Щоб записати рівняння висоти , використаємо умову перпендикулярності прямих і : . Отримаємо: . Запишемо рівняння прямої , що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом (8.9): , тобто або

.

Довжину висоти знайдемо як відстань від точки до прямої , використавши формулу (8.24):

в) Щоб записати рівняння медіани , знайдемо координати точки М як середини відрізка і скористаємося рівнянням (8.13).

Так як

, ,

то

, ,

тобто . Тоді рівняння медіани матиме вигляд:

,

що рівносильно

або .

Знайдемо довжину медіани як відстань між двома точками:

.

г) Знайдемо точку перетину висоти і медіани . Для цього розв’яжемо систему їх рівнянь:

.

Отримаємо ; , тобто .

д) Щоб записати рівняння прямої , що проходить через точку паралельно стороні , використаємо умову їх паралельності – і рівняння (8.9) – . Отримаємо: або . 

2. Знайти кут між двома прямими:

1) і ; 3) і ;

2) і ; 4) і .

8.5. Знайти відстань між двома паралельними прямими і .

Площина

6. Вказати особливості розташування площин відносно системи координат :

1) 3)

2) 4) .

8.7. Скласти рівняння площини, що паралельна площині і проходить через точку

8.8. Скласти рівняння площини, що перпендикулярна до осі і проходить через точку

8.9. Знайти рівняння площини, що паралельна осі і проходить через точки і .

8.10. Які відрізки відтинає на координатних осях площина ? Побудуйте цю площину.

8.11. Знайти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині

8.12. Знайти відстань між паралельними площинами і

13. Знайти кут між двома площинами і

14. Через три точки

Пряма в просторі. Пряма і площина

13. Дано чотири точки , , , . Знайти: а) рівняння прямої ; б) рівняння прямої паралельної до прямої ; в) рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої ; г) рівняння площини ; д) рівняння прямої перпендикулярної до площини та координати точки їх перетину; е) відстань від точки до площини ; є) кут між прямою і площиною ; ж) кут між координатною площиною і площиною .

Розв’язок. а) рівняння прямої складемо, використовуючи рівняння (8.12) – прямої, що проходить через дві точки:

або

– канонічне рівняння прямої, .

б) Щоб записати рівняння прямої паралельної до прямої , використаємо канонічні рівняння (8.5) прямої в просторі, що проходить через точку паралельно до вектора , так як , а , то і . Отримаємо:

.

в) Щоб записати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої , використаємо рівняння (8.1) площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора . Так як і пряма перпендикулярна до шуканої площини, то і вектор перпендикулярний до цієї площини, тому в якості нормального вектора візьмемо вектор . Отримаємо:

або .

г) Щоб записати рівняння площини , використаємо рівняння (8.15) площини, що проходить через три точки:

або – загальне рівняння площини, .

д) Щоб записати рівняння прямої , перпендикулярної до площини , скористаємось рівняннями (8.5). Напрямний вектор прямої перпендикулярний до площини , а отже , тому візьмемо . Отримаємо: .

Знайдемо координати точки перетину прямої і площини . Для цього розв’яжемо систему їх рівнянь, записавши рівняння прямої в параметричній формі:

Таким чином, .

е) Відстань від точки до площини знайдемо за формулою (8.23):

.

є) Знайдемо кут між прямою і площиною .

Запишемо рівняння прямої як рівняння прямої, що проходить через дві точки: або – канонічне рівняння прямої, .

Для знаходження шуканого кута скористаємося формулою (8.22):

, .

ж) Знайдемо кут між координатною площиною і площиною .

Рівняння площини – , .

Для знаходження шуканого кута застосуємо формулу (8.17):

,

. 

13. Знайти кут між прямими , .

14. Знайти проекцію точки на площину

15. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму паралельно прямій

16. Знайти рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі:

і

Лекція 9