8.3. Канонічні і параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Канонічні і параметричні рівняння прямої. Положення прямої в просторі і системі координат повністю визначається деякою точкою цієї прямої і ненульовим вектором , паралельним до цієї прямої (рис. 8.3).

Ненульовий вектор, паралельний до прямої, називають напрямним вектором цієї прямої.

Для довільної точки прямої і тільки для точок даної прямої вектор . Записавши умову паралельності цих векторів в координатній формі, отримаємо канонічні рівняння прямої в просторі:

. (8.5)

Так як вектор , то з умови колінеарності векторів маємо , де – скалярний множник, що називається параметром. Тоді рівняння (8.5) можна переписати у вигляді

або рівносильно

(8.6)

Рівняння (8.6) називаються параметричними рівняннями прямої в просторі.

Приклад 8.3. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно до заданого вектора .

Розв’язок. Підставимо координати точки і вектора в рівняння (8.5), отримаємо

. 

Якщо задана пряма на площині , то канонічні рівняння прямої мають вигляд

, (8.7)

а параметричні –

(8.8)

де – координати точки , – координати напрямного вектора .

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо пряма не паралельна осі , то . Тоді рівняння (8.7) можна записати у вигляді

.

Величина , де – кут, який утворює пряма з віссю (кут відраховується проти годинникової стрілки від додатного напрямку осі , рис. 8.3). Позначивши , отримаємо рівняння:

, (8.9)

називають кутовим коефіцієнтом, а рівняння (8.9) – рівнянням прямої, що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом.

Рівняння (8.9) з різними значеннями називають також рівняннями в’язки прямих з центром в точці . З цієї в’язки не можна визначити лише пряму, паралельну осі .

Позначивши в рівнянні (8.9) , отримаємо рівняння прямої з заданим кутовим коефіцієнтом:

. (8.10)

Приклад 8.4. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку під кутом до осі .

Розв’язок. Кутовий коефіцієнт прямої . Підставимо координати точки і знайдений коефіцієнт в рівняння (8.9), отримаємо

або . 

8.4. Загальні рівняння прямої в просторі

Нехай задані дві непаралельні площини і в системі координат .

Система рівнянь

(8.11)

визначає пряму лінію в просторі.

Рівняння (8.11) називаються загальними рівняннями прямої в просторі.

Приклад 8.5. Дано загальні рівняння прямої

Скласти канонічні рівняння цієї прямої.

Розв’язок. Щоб перейти від загальних рівнянь до канонічних (8.5), знайдемо деяку точку , яка лежить на прямій, і напрямний вектор прямої.

Так як система загальних рівнянь прямої має безліч розв’язків, то щоб знайти довільну трійку чисел , що їй задовольняють, покладемо, наприклад, , отримаємо систему

Її розв’язком є пара чисел , , тому точка лежить на прямій.

В якості напрямного вектора можна взяти вектор , де , , так як цей вектор перпендикулярний до нормальних векторів площин, а отже паралельний їх лінії перетину.

Знайдемо вектор

.

Отже, .

Складемо шукані канонічні рівняння:

або . 