§8. Площина, пряма в просторі і на площині

8.1. Загальне рівняння площини

П оложення площини в декартовій системі координат повністю визначається деякою точкою цієї площини і ненульовим вектором , перпендикулярним до цієї площини (рис. 8.1).

Ненульовий вектор, перпендикулярний до площини, називають нормальним вектором цієї площини.

Для довільної точки площини і тільки для точок даної площини вектор , тому їх скалярний добуток рівний нулю: . Записавши умову перпендикулярності цих векторів в координатній формі, отримаємо рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора:

. (8.1)

Це рівняння є рівнянням першої степені відносно поточних координат , , .

Так як вектор – ненульовий, то .

Надаючи коефіцієнтам А, В, С рівняння (8.1) довільних значень, отримаємо рівняння відповідних площин, що проходять через задану точку .

Сукупність площин, , що проходять через задану точку, називають в’язкою площин, а рівняння (8.1) – рівнянням в’язки площин.

Перетворимо рівняння (8.1):

.

Ввівши позначення , отримаємо

. (8.2)

Рівняння (8.2) називають загальним рівнянням площини.

Частинні випадки загального рівняння площини:

1. Якщо , то рівняння набуде вигляду . Цьому рівнянню задовольняють координати початку координат . Отже, площина проходить через початок координат.

2. Якщо , то матимемо рівняння . Вектор . Отже, площина паралельна осі .

Якщо , то площина паралельна осі .

Якщо , то площина паралельна осі .

3. Якщо , то площина проходить через початок координат і паралельна осі , тобто площина проходить через вісь . Аналогічно, рівнянням , відповідають площини, що проходить відповідно через осі , .

4. Якщо , то рівняння (8.2) набуде вигляду або – рівняння площини, паралельної координатній площині . Аналогічно, рівнянням , відповідають площини, паралельні площинам , відповідно.

5. Якщо , то рівняння (8.2) матиме вигляд або – це рівняння площини . Аналогічно, – рівняння площини , – рівняння площини .

Приклад 8.1. Скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора .

Розв’язок. Підставимо координати точки і вектора в рівняння (8.1), отримаємо

або . 

8.2. Загальне рівняння прямої на площині

Положення прямої на площині повністю визначається деякою точкою цієї прямої і ненульовим вектором , перпендикулярним до цієї прямої (рис. 8.2).

Ненульовий вектор, перпендикулярний до прямої, називають нормальним вектором цієї прямої.

Для довільної точки прямої і тільки для точок даної прямої вектор . Записавши умову перпендикулярності цих векторів в координатній формі, отримаємо рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора:

. (8.3)

Це рівняння є рівнянням першого степеня відносно поточних координат , .

Так як вектор – ненульовий, то .

Ввівши позначення , з рівняння (8.3) отримаємо

. (8.4)

Рівняння (8.4) називають загальним рівнянням прямої на площині.

Частинні випадки загального рівняння прямої:

1. Якщо , то рівняння набуде вигляду . Цьому рівнянню задовольняють координати початку координат . Отже, пряма проходить через початок координат.

2. Якщо , то рівняння матиме вигляд або – рівняння прямої, паралельної осі .

3. Якщо , то рівняння набуде вигляду або – рівняння прямої, паралельної осі .

Приклад 8.2. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора .

Розв’язок. Підставимо координати точки і вектора в рівняння (8.3), отримаємо

або . 