§6. Добутки векторів
6.1. Скалярний добуток векторів
Означення скалярного добутку. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо хоча б один із двох даних векторів нульовий, то їх скалярний добуток за означенням вважається рівним нулю.
Позначається
або
,
або
.
Таким чином, за означенням,
,
(6.1)
де
.
Так як
є проекцією вектора
на
вектор
,
а
– проекцією вектора
на
вектор
,
то формулі (6.1) можна надати іншого
вигляду:
,
(6.2)
тобто скалярний добуток рівний добутку довжини одного з них на проекцію іншого на перший вектор.
Властивості скалярного добутку.
1.
.
Справедливість цієї властивості випливає з означення.
2.
.
Доведення.
.
3.
.
Доведення.
.
4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини:
.
Доведення.
.
Зокрема,
.
Якщо
добути корінь із скалярного квадрата
вектора, то отримаємо не початковий
вектор, а його модуль
,
тобто
.
5. Якщо ненульові вектори і ортогональні, то їх скалярний добуток рівний нулю і навпаки, якщо скалярний добуток двох ненульових векторів рівний нулю, то ці вектори ортогональні.
Доведення.
Так як
,
то
,
а отже і
.
Якщо
і
,
,
то
і
.
Зокрема,
.
Приклад
6.1. Знайти
,
якщо
,
,
,
,
.
Розв’язок.
.
Приклад
6.2. Знайти
довжину вектора
,
якщо
,
,
.
Розв’язок.
Скалярний
добуток в координатній формі. Нехай
в декартовій прямокутній системі
координат задані вектори
,
або, що те ж саме,
,
.
Знайдемо скалярний добуток цих векторів, перемноживши їх як многочлени згідно властивостям 1 – 3:
.
Згідно властивостям 4, 5, отримаємо:
.
(6.3)
Таким чином, скалярний добуток векторів рівний сумі добутків їх однойменних координат.
За формулою (6.3) маємо
,
(6.4)
звідки
.
(6.5)
Приклад
6.3. Знайти
довжину вектора
.
Розв’язок.
Нехай
в декартовій прямокутній системі
координат задані точки
,
.
Відстань
між двома точками
і
рівна
.
(6.6)
Так як
,
то кут
між ненульовими
векторами
і
визначається за формулами:
,
тобто
.
(6.7)
З останньої формули випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і :
.
(6.8)
Нехай
кути, які утворює вектор
з
осями координат
,
,
,
відповідно рівні
.
Тоді проекції вектора
на
осі координат рівні
,
,
.
(6.9)
Звідси
,
,
.
(6.10)
Числа
,
,
називаються напрямними
косинусами
вектора
.
Підставивши вирази (6.9) в рівність (6.4), отримаємо
.
Скоротивши
на
,
отримаємо співвідношення
.
Приклад
6.4. Довести,
що діагоналі чотирикутника, заданого
координатами вершин
,
,
,
,
взаємно перпендикулярні.
Розв’язок.
Складемо вектори
і
,
що лежать на діагоналях даного
чотирикутника:
;
.
Знайдемо скалярний добуток цих векторів:
.
Згідно властивості 5, вектори і перпендикулярні, що й треба було довести.
Приклад
6.5. Дано
трикутник з вершинами в точках
,
,
.
Знайти проекцію сторони
на сторону
.
Розв’язок.
Складемо вектори
і
,
що лежать на сторонах даного трикутника:
;
.
З формули (6.2) знаходимо
.
Приклад
6.6. Знайти
кут між векторами
і
,
якщо
,
.
Розв’язок. За формулою (6.7) знаходимо
,
.
Приклад
6.7. Знайти
напрямні косинуси вектора
,
якщо
,
.
Розв’язок. Знайдемо координати і довжину вектора :
,
.
За формулами (6.10)
,
,
.