5.5. Декартова прямокутна система координат

Нехай в просторі дано точку О і ортонормований базис, який позначатимемо .

Сукупність точки О і ортонормованого базису називається декартовою прямокутною системою координат в просторі. Точку О називають початком координат. Вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора , називається віссю або віссю абсцис; вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора – віссю або віссю ординат; вісь, що проходить через точку О і має напрямок вектора – віссю або віссю аплікат. Осі , , називають осями координат. Площини, що проходять через дві осі координат, називають координатними площинами.

Декартову прямокутну систему координат позначають або .

Радіус-вектором точки М назвемо вектор (рис. 5.7). Нехай , де – координати вектора в базисі , тобто його проекції на відповідні координатні осі, їх називають координатами точки М в системі і записують . Координата називається абсцисою, – ординатою, – аплікатою.

Таким чином, кожній точці М в заданій декартовій прямокутній системі координат в просторі відповідає єдина впорядкована трійка чисел, і навпаки, кожній впорядкованій трійці чисел в заданій декартовій прямокутній системі координат в просторі відповідає єдина точка.

Знайдемо координати вектора , якщо відомі координати точок , . Маємо (рис. 5.8):

.

Отже, координати вектора рівні різницям відповідних координат його кінця і початку.

Т ри некомпланарних вектори , , , взятих у вказаному порядку, утворюють праву орієнтацію або праву трійку, якщо з кінця поворот від до по найкоротшому шляху видно проти ходу стрілки годинника (рис. 5.9). В протилежному випадку трійка векторів утворює ліву трійку.

Якщо вектори утворюють праву (ліву) трійку, то, помінявши місцями довільні два вектори, отримаємо ліву (праву ) трійку.

Система координат називається правою, якщо її базисні вектори утворюють праву трійку і лівою, якщо – ліву.

Аналогічно визначається декартова прямокутна система координат на площині.

5.6. Поділ відрізка в даному відношенні

Розділити відрізок у відношенні означає на прямій, що проходить через точки А і В, знайти таку точку С, що . Якщо , то точка С лежить на відрізку , якщо , то точка С лежить за межами відрізка .

Нехай в системі координат дано точки , . Знайдемо на прямій координати точки , що ділить відрізок у відношенні .

Розглянемо вектори , . Так як , то ; ; . З цих рівностей отримаємо:

; ; . (5.6)

Зокрема, при маємо координати середини відрізка:

; ; . (5.7)

Аналогічно, якщо на площині дано точки , , то координати точки , що ділить відрізок у відношенні , визначаються за формулами

; ,

а координати середини відрізка:

; .

Приклад 5.5. Точка ділить відрізок у відношенні . Знайти координати точки В, якщо .

Розв’язок. Позначимо невідомі координати . Згідно формулам (5.6)

; ; ,

звідки ; ; .

Відповідь: . 

Приклад 5.6. Довести, що чотирикутник з вершинами в точках , , , є паралелограмом.

Розв’язок. За ознакою паралелограма його діагоналі точкою перетину діляться пополам. Знайдемо координати середин відрізків і і якщо вони співпадуть, то чотирикутник – паралелограм.

Позначимо середину відрізка через а середину відрізка – через . Тоді

; ;

; .

Очевидно, що точка співпадає з точкою , отже чотирикутник є паралелограмом. 

Теоретичні питання

1. Що називається вектором?

2. Який вектор називається ортом?

3. Які два вектори називаються колінеарними?

4. Які два вектори називаються рівними?

5. Які вектори називаються вільними?

6. Які вектори називаються компланарними?

7. Які операції над векторами називають лінійними?

8. Які властивості лінійних операцій над векторами?

9. Що називається лінійною комбінацією векторів?

10. Що називається базисом на площині?

11. Що називається базисом в просторі?

12. Що називається координатами вектора в базисі ?

13. Який базис називається ортонормованим?

14. Чому рівні координати суми векторів в даному базисі?

15. Як визначаються координати при множенні вектора на число в даному базисі?

16. Яка умова колінеарності двох ненульових векторів?

17. Що називається декартовою прямокутною системою координат в просторі?

18. Що називається координатами точки М в системі ?

19. Як визначаються координати вектора в системі ?

20. Які три вектори утворюють праву трійку, а які – ліву?

21. Що означає розділити відрізок у відношенні ?

22. Чому рівні координати точки , що ділить відрізок у відношенні ?

23. Чому рівні координати середини відрізка?

Задачі та вправи

5.1. В базисі дано вектори , . Знайти вектор .

5.2. Перевірити, чи колінеарні вектори і , задані в базисі :

а) , ;

б) , ;

в) , .

5.3. В базисі дано вектори . Перевірити чи утворюють вони базис:

а) , , ;

б) , , .

5.4. В базисі дано вектори , , . Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в базисі .

5.5. Точка ділить відрізок у відношенні . Знайти координати точки А, якщо .

5.6. Дано точки , , . Підібрати координати точки так, щоб чотирикутник був паралелограмом.

Лекція 6