§ 3. Обобщающие примеры по теме: «Определители 2-го и 3-го порядков»

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Определители 2-го и 3-го порядков». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.

☺ ☻ ☺

Пример 1–2: Вычислить определитель: = .

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d= = .

2). В нашем случае: d=1·4 – 2·3 = –2.

Ответ: d = –2.

Пример 2–5: Вычислить определитель: = .

Решение:

1). Воспользуемся свойством определителя: если строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

2). В нашем случае: .

Ответ: d =0.

Пример 3–8: Вычислить определитель: = .

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d= = .

2). В нашем случае: d= · – · = =–2 .

Ответ: d =0.

Пример 4–10: Вычислить определитель: = .

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d= = .

2). В нашем случае: d= – = .

Ответ: d = .

Пример 5–14: Вычислить определитель 2-го порядка: d= .

Решение:

1). Можно было бы сразу раскрывать определитель по общей формуле, но наличие общих множителей в обеих строках (столбцах) позволяет предварительно упростить запись определителя вынесением этих множителей за знак определителя.

2). Результат упрощений: d= · = ·d₁: вынесением общего множителя из 1-й и 2-й строк получили для вычисления значительно более простую форму – определитель d₁!

3). Вычислим: = = , тогда, очевидно, d=1.

Ответ: d =1.

Пример 6–18: Вычислить определитель: .

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d= = .

2). В нашем примере: d= = . Учтено: .

Ответ: .

Пример 7–20: Вычислить определитель: = .

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d= = .

2). В нашем примере: d= –1·1 = 0. Учтено: .

Ответ: d=0.

Пример 8–22: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.

Решение:

1). Составим определитель системы: d= и определители: = , заменяя 1-й столбец определителя d столбцом правой части; = , заменяя 2-й столбец определителя d столбцом правой части.

2). Вычислили: d=–1, =–3, =1 .

3). Применяя правило Крамера, получим: x= =3; y= =–1.

Ответ: x=3; y=–1.

Пример 9–26: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.

Решение:

1). Составим определитель системы: d= , заменяя 1-й столбец определителя d столбцом правой части, получаем: = , заменяя 2-й столбец определителя d столбцом правой части, получаем: = .

2). Вычислили: d=1, = , = .

3). Применяя правило Крамера, получим: x= = ; y= = .

Ответ: x=16; y=7.

Пример 10–28: Исследовать систему уравнений: используя теоретические результаты, полученные в § 1.

Решение:

1). Составим определитель системы: d= =0 и определители: = =0, заменяя 1-й столбец определителя d столбцом правой части; = =0. заменяя 2-й столбец определителя d столбцом правой части. Следует: решений бесчисленное множество → система неопределённая.

2). Можно было сразу увидеть: → имеем одно уравнение: с двумя неизвестными.

3 ). Геометрически: векторы нормалей прямых: =(4,6) и =(6,9) параллельны. Легко проверить, что точка: (–1,1) принадлежит обеим прямым → прямые совпадают!

Ответ: при d ≠ 0 система уравнений единственное решение; при d = 0 их бесчисленное множество.

Пример 11–30: Решить уравнение: x= по правилу Крамера.

Решение:

1). Учтём, что линейное уравнение с одной неизвестной – это частный случай систем уравнений. Поэтому: d= , = .

2). Тогда запишем: x= = , которое верно при ≠0, то есть . В этом случае имеем единственное решение.

3). Если =0, то решений нет при = ≠0, так как равенство x·d = невозможно ни при каком x. Если =0 и =0, то решением является любое число.

Ответ: полное исследование: в тексте.

Пример 12–40: Доказать, что квадратный трёхчлен с комплексными коэффициентами тогда, и только тогда, будет полным квадратом, если: =0.

Решение:

1). Учтём, что линейное уравнение с одной неизвестной – это частный случай систем уравнений. Поэтому: d= , = .

2). Тогда запишем: x= = , которое верно при ≠0, то есть . В этом случае имеем единственное решение.

3). Если =0, то решений нет при = ≠0, так как равенство x·d = невозможно ни при каком x. Если =0 и =0, то решением является любое число.

Ответ: полное исследование: в тексте.

Пример 13–43: Вычислить определитель: = .

Решение:

Вычислим определитель несколькими способами:

Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:

=40.

Способ 2. В соответствии со свойством 9 можно вычислить определитель 3-го порядка разложением по любой строке или любому столбцу. Запишем разложение по 1-й строке:

=40.

Способ 3. Используя все необходимые свойства определителя, преобразуем его до простейшего вида: в одной из строк, или в одном из столбцов заменяем все элементы, кроме одного, нулями:

d = (1) = = (2) = = (3) = = (4) =40.

Операции: (1): [R2] – [R3]; [R3] – [R1]. (2): [R1] +[R2]·3. (3): применяем разложение определителя по столбцу-3. (4): завершаем вычисление.

Замечание: обозначено: C – столбец; R – строка определителя.

Ответ: d = 40.

Пример 14–46: Вычислить определитель: = .

Решение:

Применим для вычисления определителя Способ 3: этот способ допускает в широком диапазоне импровизации. При использовании этого способа не следует заранее прицеливаться к определённой строке (столбцу) для получения в ней многих нулей! Нужно за счёт операций со строками и столбцами добиться максимальной простоты чисел-элементов определителя. В некоторый момент всё становится очевидным!

d = (1) = = (2) = = (3) =–5.

Операции: (1): [C3] + [C2]·2. (2): применяем разложение определителя по столбцу-3. (3): завершаем вычисление.

Ответ: d =–5.

Пример 15–56: Вычислить определитель: = .

Решение:

Применим способ-3 преобразования и вычисления определителя:

=(1)=(a+b+c)· = (2) =(a+b+c)· = (3) = .

Операции: (1): [R1]+[R2]+[R3]; выносим общий множитель за знак определителя. (2): [C3] – [C1]; [RC]–[RC]. (3): применяем разложение определителя по строке-1 и завершаем вычисление.

Ответ: d = .

Пример 16–60: Вычислить определитель: = .

Решение:

1) Применим свойство определителя:

d = = d₁+ d₂.

2) В нашем случае: = + = d₁+d₂. Вычисление определителя d₁ достаточно просто: d₁ = . Вычисление определителя d₂ выполним способом 3:

=(1)= = (2) = → = .

Операции: (1): [C3] –[C1]; [C2] –[C1]. (2): учитываем, что получен определитель треугольного вида, завершаем вычисление.

Ответ: d = .

Пример 17–65: Показать, что определитель: = и два других определителя, полученных из данного круговой перестановкой элементов и , равны нулю, если – длины сторон треугольника и – его углы, противолежащие соответствующим сторонам .

Решение:

1) Применим свойство определителя:

d = + + +

Это значит, что можно от вычисления одного громоздкого определителя перейти к вычислению трёх простых определителей: d == d₁+ d₂+ d₃.

2) В нашем случае: d₁ = = = ;

d₂ = =– = ;

d₃ = = = .

3) Тогда получаем: d=d₁+d₂+d₃ = . Учитываем известную теорему косинусов для треугольника со сторонами и углами , противолежащими этим сторонам. Для стороны a: , для стороны b: , для стороны c: . Используя эти равенства, получаем: d=0 как для исходного определителя, так и для получаемых из него циклической перестановкой соответствующих сторон и углов треугольника!

Ответ: d =0: доказано.

Пример 18–66: Вычислить определитель: .

Решение:

1) Преобразуем определитель к форме, удобной для разложения по строке или по столбцу:

d = (1) = = (2) = = (3) =–2.

Операции: (1): [C3] – [C1]; вынесем общий множитель столбца-3 за знак определителя. (2): [C3] – [C1]; [C3] – [C2]. (3): завершаем вычисление для определителя треугольного вида.

Ответ: d = –2.

Пример 19–74: Решить систему уравнений: пользуясь формулами Крамера.

Решение:

1) Системе уравнений соответствуют: матрица системы A и расширенная матрица :

A = , = .

2) Формулы Крамера в общем виде: , , . Вычислим все величины, входящие в эти формулы, для заданной системы уравнений:

d = =1, = =3, = =–2, = =2.

3) Вычислим неизвестные: , , → решение заданной системы уравнений.

Ответ: , , .

Пример 20–82: Имеем систему уравнений: Установить: является эта система совместной или несовместной. Если система совместна, найти её решение.

Решение:

1) Системе уравнений соответствуют: матрица системы A и расширенная матрица :

A = , = .

2) Вычислим все величины, входящие в формулы , , :

d = =0, = =0, = =0, = =0.

3) Так как и =0, =0, =0, то система неопределённая: имеет бесчисленное множество решений. Воспользуемся геометрической иллюстрацией: =(2,–3,1), =(3,–5,5), =(5,–8,6) – компланарны, но плоскости α₁, α₂, α₃ раз­личны: линии их пересе­чения совпадают (пучок плоскостей!); общие точки трех плоскостей: общая ли­ния пересечения. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений, говорят – система неопределенна.

Для исследования соответствия геометрического образа и системы коэффициентов матрицы воспользуемся 4-мерными векторами: , , .

В этом случае векторы , , – линейно зависимы, причём так, что один из них является линейной комбинацией двух других: это следует из уравнения пучка плоскостей! Это значит, что фактически система состоит из двух уравнений, и одной из переменных можно присваивать произвольные значения!

Ответ: система несовместна.

Пример 21–111: Доказать тождество: d = = , не применяя вычислений правой и левой частей тождества.

Решение:

1) Выполним Операции: [C3] – [C1]·x– [C2]·y → получено d = .

2) Тождество доказано!

Ответ: доказано: см. текст.

Пример 22–115: Доказать тождество: d = = , не применяя вычислений правой и левой частей тождества.

Решение:

1) Выполним Операции: [R3] – [R1]; [R2] – [R1] → получено d = . Вынося общие множители строк, получаем: d = · = .

2) Тождество доказано!

Ответ: доказано: см. текст.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Может ли определитель 2-го порядка не быть числом?

2. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот (проверьте!)?

3. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?

4. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?

5. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?

6. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?

7. Может ли определитель 3-го порядка не быть числом?

8. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот (проверьте!)?

9. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?

10. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?

11. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?

12. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?

13. Существует ли определитель для матрицы ?

< * * * * * >