1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
||
|
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
=(1)→ |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
=(2)→ |
|
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
||
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
=(3)→ |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
=(4)→ |
|
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Выполнены операции: (1): [R3]–[R1]; [R5]–[R1]. (2): [R3]+[R2]; [R4]–[R2]. (3): [R4]+[R3]; [R5]–[R3]. (4): раскрываем полученный результат.
2).
Видим:
=3.
Свободными неизвестными объявляем
,
,
.
3).
Из уравнения [R3]
следует:
=
.
Далее из уравнения [R2]:
=
–
;
из уравнения [R1]:
=
–
.
Получено общее решение: как и в случае
неоднородной системы уравнений.
5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
α1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
α2 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
α3 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Векторы-решения
,
,
линейно независимы, их количество
=3.
Эти векторы могут быть приняты в качестве
ФСР.
Ответ:
общее решение
=
–
,
=
–
;
=
.
ФСР:
=
(1,1,1,1,0,0);
=(-1,0,0,0,1,0);
=(0,-1,0,0,0,1).
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Можно ли, применяя метод Гаусса, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?
2. Можно ли решить систему уравнений методом Гаусса, если все значения свободных членов bi , i = 1, 2, …, n равны нулю?
3. Можно ли любую систему уравнений записать в виде матричного уравнения AX = B?
4. Можно ли, применяя правило Крамера, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?
5. Можно ли решить систему уравнений по правилу Крамера, если все значения свободных членов bi, i = 1,2, …, n равны нулю?
6. Как практически применяется теорема Кронекера-Капелли при решении системы линейных уравнений?
7. Можно ли провести полное исследование системы уравнений без использования теоремы Кронекера-Капелли?
8. Может
ли ранг расширенной матрицы
быть равным 7, а ранг А-матрицы
8 ? а наоборот?
9. Могут
ли ранги матриц А
и
равняться нулю?
10. Является ли линейным векторным пространством множество всех решений однородной системы линейных уравнений с обычными операциями сложения и умножения на число?
11. Какова размерность линейного пространства решений однородной системы 8 линейных уравнений с 12 неизвестными, если ранг матрицы системы равен 4?
12. Что называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений?
13. Как построить ФСР однородной системы линейных уравнений?
14. Сколько ФСР можно построить для заданной однородной системы линейных уравнений?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C15–1:
Найти общее решение
системы уравнений:
и фундаментальную
систему решений.
Ответ:
общее решение x1
= –6x3
+ 5x4;
x2
= 8x3
–7x4.
ФСР:
=
(8, 6, 1, 0);
=
(–7, 5, 0, 1).
Пример
C15–2:
Найти общее решение
системы уравнений:
и фундаментальную
систему решений.
Ответ: общее
решение:
=
,
=
,
или:
=
+
+
.
ФСР:
=
(2, 0, 6, 0,0) ;
=
(–4,–3, 0,6 ,0);
=
(–10,9, 0, 0,6).
Пример
C15–3:
Найти общее решение
системы уравнений:
и фундаментальную
систему решений.
Ответ: общее
решение:
=0,
=0,
=
;
или:
=
+
.
ФСР:
=
(0,3,0,1,0) ;
=
(0,2,0,0,1).
< * * * * * >