4). Пусть : выделены элементы всего правого верхнего угла матрицы над главной диагональю. Вычисление алгебраических дополнений выделенных элементов начнём с рассматривания картинок:
-
j
→
j
→
i
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
i
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Если
фиксировать строку
и передвигать полоску
вправо в диапазоне
,
то легко заметить, что, знаки
чередуются, начиная с минуса для положения
полоски:
.
В то же время видим: все
выделяемые
миноры
– определители треугольного вида,
причём на главную диагональ при любом
положении столбца попадает число 0. В
этом случае имеем:
=0
→
=0.
Это значит, что, перемещая полоску, мы
рисуем
строки
матрицы
под главной диагональю: заполняя их
нулями.
5). Учитывая результаты, полученные в пунктах 1÷4, можем записать обратную матрицу.
Способ-2.
Связку
двух матриц
будем моделировать матрицами размерности
(5,5): такие матрицы обеспечат и наглядность
процесса вычисления матрицы
,
и обобщение для любой размерности
.
1). Применим элементарные преобразования к связке матриц и :
=
=(1)
→
=
.
Выполнены операции: (1): [R4]–[R5] ; [R3] –[R4] ; [R2] –[R3] ; [R1] –[R2].
2). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.
Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 значительно проще, чем Способ-1.
Ответ:
А–1 =
,
матрица 5-го порядка вполне отражает
матрицу
для произвольного порядка.
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Всегда ли возможно применение матрицы (A|Е) для вычисления обратной матрицы А-1?
2. Как проверить правильность вычисления матрицы А-1?
3. Как изменится обратная матрица А-1, если в матрице (A|Е) матрица A будет транспонирована?
4. Всегда ли возможна запись матричного уравнения: AXB = C?
5. Какой вид имеет запись решения матричного уравнения: AXB = C?
6. Какой порядок действий, выполняемых при решении матричного уравнения AXB = C?
7. Возможно ли решение матричного уравнения AXB = C в случае, когда матрицы A и B вырожденные?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C11–1: Найти
обратную матрицу для матрицы:
.
Ответ:
=
.
Пример
C11–2:
Решить
матричное уравнение:
·X=
,
или:
.
Ответ:
=
,
где
,
,
→ произвольные числа.
Пример
C11–3:
Решить
матричное уравнение:
·X·
=
,
или компактно:
.
Ответ:
=
.
< * * * * * >
ЗАНЯТИЕ 12. Линейное пространство n-векторов. Линейная зависимость n-векторов. Определения ранга матрицы и его вычисление для совокупности векторов и матрицы.
☺ ☻ ☺
Пример
12–1:
Найти вектор
из уравнения:
+2
+3
+4
=0,
если
=(5,-8,-1,2),
=(2,-1,4,-3),
=(-3,2,-5,4).
Решение:
1). Запишем уравнение в виде: –4 = +2 +3 = (5,-8,-1,2) +2(2,-1,4,-3) +3(-3,2,-5,4)=(0,-4,-8,8).
2). Разделив полученное равенство на (-4), получим: = (0,1,2,-2).
Ответ: = (0,1,2,-2).
Пример
12–2:
Найти ранг матрицы:
методом окаймляющих миноров.
Решение:
1).
Так как в матрице есть элементы не равные
нулю, то ранг матрицы
.
Окаймление любого из них приводит к
минору 2-го порядка.
2).
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не
равен нулю), расположенный в правом
верхнем углу:
-
4
3
-5
2
3
8
6
-7
4
2
1
4
3
-8
2
7
2
4
3
1
2
-5
3
8
6
-1
4
-6
3
2
1