Занятие 15. Однородные системы уравнений. Общее решение системы уравнений, Фундаментальная система решений. Связь решения неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной системы.
☺ ☻ ☺
Как и в общем случае исследования системы неоднородных линейных уравнений, использование теоремы Кронекера–Капелли в частном случае исследования системы линейных однородных уравнений также плодотворно. Общая схема решения:
A1*: Вычисляем ранг: матрицы системы. Так как для однородной системы уравнений = , то всегда выполняется . Однородная система уравнений всегда совместна. Пусть = . Это значит, что определён базовый минор M матрицы системы.
A2*: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.
A3*: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть.
A4*: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!
A5*: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.
Замечание: отметим, что свободных неизвестных : их можно воспринимать как число степеней свободы процесса; вычисляемых неизвестных – .
••• ≡ •••
Пример
15–1:
Исследовать
систему уравнений:
Найти
общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицу: = и найдём её ранг. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы:
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
6 |
8 |
2 |
5 |
1 |
9 |
12 |
3 |
10 |
|
2 |
1 |
|
|
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
= =4· –8· +12· =m1·(5)–h1·(4)+g1·(1)=
=4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;
Замечание: параметры: m1, h1, g1 изменяются при переходе к минорам , , числа: (5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= = m2·(5)–h2·(4)+g2·(1)= 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;
4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то =2.
5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :
далее применяем правило Крамера:
=1;
=
=
;
=
=0.
6). Общее решение системы: = = ; = =0; частное решение получим при значениях: =1, =–1, → =1, =0.
Ответ: общее решение: = = ; = =0; частное решение: (1,–1,1,0).
Пример
15–2:
Исследовать
систему уравнений:
Найти
общее и частное решение.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
4 |
-3 |
2 |
-1 |
|
|
1 |
-1 |
-1 |
2 |
|
3 |
-2 |
1 |
-3 |
|
|
1 |
-1 |
1 |
2 |
|
2 |
-1 |
0 |
-5 |
=(1)→ |
1 |
-1 |
1 |
2 |
=(2)→ |
|
5 |
-3 |
1 |
-8 |
|
|
1 |
0 |
-1 |
-7 |
|
1 |
-1 |
-1 |
2 |
|
|
1 |
0 |
0 |
-7 |
|
0 |
0 |
-2 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
-2 |
0 |
=(3)→ |
0 |
0 |
0 |
0 |
=(4)→ |
|
0 |
1 |
0 |
-9 |
|
|
0 |
1 |
0 |
-9 |
|
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R4]. (2): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]. (3): [R3]–[R1]; [R2] делим на (–2); [R1]–[R2]; [R1]–[R4]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =3. Свободной неизвестной объявляем = .
3). Из уравнения-строки [R4] запишем: =9 ; из строки [R2]: =0; [R4] запишем: =7 . Произвольная величина определяет бесчисленное множество решений заданного уравнения.
Ответ: общее решение: (7 ;9 ;0; )= (7,9, 0;1).
Пример
15–3:
Найти общее решение
системы уравнений:
и фундаментальную
систему решений.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
3 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
3 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
6 |
4 |
3 |
5 |
7 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
-3 |
|
9 |
6 |
5 |
7 |
9 |
=(1)→ |
0 |
0 |
2 |
-2 |
-6 |
=(2)→ |
|
3 |
2 |
0 |
4 |
8 |
|
|
0 |
0 |
-1 |
1 |
3 |
|
3 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
-3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
-3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
=(3)→ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
=(4)→ |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R2]–[R1]·2; [R3]–[R1]·3. (2): [R3]–[R2]·2; [R4]–[R2]. (3): [R1]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =2. Пусть , , свободные неизвестные. Раскрываем таблицу:
3) Применяем правило Крамера:
=
4;
=
=
;
=
=
.
4).
Общее решение системы: x4
=
;
x5
=
.
5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
α1 |
4 |
0 |
0 |
9 |
-3 |
α2 |
0 |
4 |
0 |
6 |
-2 |
α3 |
0 |
0 |
4 |
8 |
-4 |
Векторы-решения
,
,
линейно независимы, их количество
=3.
Эти векторы могут быть приняты в качестве
ФСР.
Ответ: общее решение: x4 = ; x5 = ;
ФСР: = (4, 0, 0, 9,–3); = (0, 4, 0, 6, –2) ; = (0, 0, 4, 8, –4).
Пример
15–4:
Найти общее решение
системы уравнений:
и фундаментальную
систему решений.
Решение: