Занятие 15. Однородные системы уравнений. Общее решение системы уравнений, Фундаментальная система решений. Связь решения неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной системы.
☺ ☻ ☺
Как и в общем случае исследования системы неоднородных линейных уравнений, использование теоремы Кронекера–Капелли в частном случае исследования системы линейных однородных уравнений также плодотворно. Общая схема решения:
A1*:
Вычисляем ранг:
матрицы системы.
Так
как для однородной системы уравнений
=
,
то всегда выполняется
.
Однородная система уравнений всегда
совместна. Пусть
=
.
Это значит, что определён базовый
минор
M
матрицы системы.
A2*:
В системе уравнений оставляем только
те
уравнения-строки, которые попали
в базовый минор:
остальные являются следствием выделенных.
A3*:
В левой части каждого из оставшихся для
дальнейшего решения уравнений оставляем
те
столбцов с неизвестными, которые попали
в базовый минор:
остальные неизвестные объявляем
свободными
и соответствующие столбцы с ними
переносим в правую часть.
A4*: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!
A5*: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.
Замечание:
отметим, что свободных неизвестных
:
их можно воспринимать как число степеней
свободы процесса; вычисляемых неизвестных
–
.
••• ≡ •••
Пример
15–1:
Исследовать
систему уравнений:
Найти
общее решение и одно частное.
Решение:
1).
Составим матрицу:
=
и найдём её ранг. Выделим для окаймления
минор (не равен нулю), расположенный в
правом верхнем углу матрицы:
|
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
|
6 |
8 |
2 |
5 |
|
1 |
9 |
12 |
3 |
10 |
|
|
2 |
1 |
|
|
3).
Окаймляющие миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=4·
–8·
+12·
=m1·(5)–h1·(4)+g1·(1)=
=4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа: (5), (4),
(1) не изменяются.
Это позволяет применить единый шаблон
вычислений!
=
=
m2·(5)–h2·(4)+g2·(1)=
3·(5)–6·(4)+9·(1)
=0;
4).
Так как все миноры 3-го порядка оказались
равными нулю, то
=2.
5).
Учитывая расположение не равного нулю
минора, 3-е уравнение отбрасываем и
свободными неизвестными объявляем
и
:
далее применяем правило Крамера:
=1;
=
=
;
=
=0.
6).
Общее решение системы:
=
=
;
=
=0;
частное решение получим при значениях:
=1,
=–1,
→
=1,
=0.
Ответ:
общее решение:
=
=
;
=
=0;
частное решение: (1,–1,1,0).
Пример
15–2:
Исследовать
систему уравнений:
Найти
общее и частное решение.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
|
4 |
-3 |
2 |
-1 |
|
|
1 |
-1 |
-1 |
2 |
|
|
3 |
-2 |
1 |
-3 |
|
|
1 |
-1 |
1 |
2 |
|
|
2 |
-1 |
0 |
-5 |
=(1)→ |
1 |
-1 |
1 |
2 |
=(2)→ |
|
|
5 |
-3 |
1 |
-8 |
|
|
1 |
0 |
-1 |
-7 |
|
|
1 |
-1 |
-1 |
2 |
|
|
1 |
0 |
0 |
-7 |
|
|
0 |
0 |
-2 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
-2 |
0 |
=(3)→ |
0 |
0 |
0 |
0 |
=(4)→ |
|
|
0 |
1 |
0 |
-9 |
|
|
0 |
1 |
0 |
-9 |
|
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R4]. (2): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]. (3): [R3]–[R1]; [R2] делим на (–2); [R1]–[R2]; [R1]–[R4]. (4): раскрываем полученный результат.
2).
Видим:
=3.
Свободной неизвестной объявляем
=
.
3).
Из уравнения-строки [R4]
запишем:
=9
;
из строки [R2]:
=0;
[R4]
запишем:
=7
.
Произвольная величина
определяет бесчисленное множество
решений заданного уравнения.
Ответ:
общее решение: (7
;9
;0;
)=
(7,9,
0;1).
Пример
15–3:
Найти общее решение
системы уравнений:
и фундаментальную
систему решений.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
|
3 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
3 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
6 |
4 |
3 |
5 |
7 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
-3 |
|
|
9 |
6 |
5 |
7 |
9 |
=(1)→ |
0 |
0 |
2 |
-2 |
-6 |
=(2)→ |
|
|
3 |
2 |
0 |
4 |
8 |
|
|
0 |
0 |
-1 |
1 |
3 |
|
|
3 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
-3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
-3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
=(3)→ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
=(4)→ |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R2]–[R1]·2; [R3]–[R1]·3. (2): [R3]–[R2]·2; [R4]–[R2]. (3): [R1]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.
2).
Видим:
=2.
Пусть
,
,
свободные неизвестные. Раскрываем
таблицу:
3) Применяем правило Крамера:
=
4;
=
=
;
=
=
.
4).
Общее решение системы: x4
=
;
x5
=
.
5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
α1 |
4 |
0 |
0 |
9 |
-3 |
|
α2 |
0 |
4 |
0 |
6 |
-2 |
|
α3 |
0 |
0 |
4 |
8 |
-4 |
Векторы-решения
,
,
линейно независимы, их количество
=3.
Эти векторы могут быть приняты в качестве
ФСР.
Ответ:
общее решение: x4
=
;
x5
=
;
ФСР:
=
(4, 0, 0, 9,–3);
=
(0, 4, 0, 6, –2) ;
=
(0, 0, 4, 8, –4).
Пример
15–4:
Найти общее решение
системы уравнений:
и фундаментальную
систему решений.
Решение: