Занятие 14. Неоднородные системы уравнений. Общее решение систем уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.
☺ ☻ ☺
Практическое использование теоремы Кронекера–Капелли при решении произвольной системы уравнений. Общая схема решения:
A1*:
Вычисляем ранги:
и
для матриц
и
.
Если:
,
то система решений не имеет. Пусть
=
=
.
Это значит, что определился общий для
матриц
и
базовый
минор:
M
.
На этот минор будем ссылаться при
построении общей схемы решения системы.
Замечание: в случае, когда система не имеет решений, учащийся доволен: задание уже выполнено; для специалиста возникшая ситуация сигналит о том, что наблюдение за процессом было некорректным при создании конкретного уравнения-модели и его нельзя учитывать!
A2*:
В системе уравнений оставляем только
те
уравнения-строки, которые попали
в базовый минор:
остальные являются следствием выделенных.
Замечание: помня, что каждое уравнение системы имеет для специалиста особый смысл, стремятся так реализовать алгоритм выделения базового минора, чтобы наиболее интересные для специалиста уравнения попали в базовый минор!
A3*:
В левой части каждого из оставшихся для
дальнейшего решения уравнений оставляем
те
столбцов с неизвестными, которые попали
в базовый минор:
остальные неизвестные объявляем
свободными
и соответствующие столбцы с ними
переносим в правую часть.
Замечание: процесс объявления некоторых неизвестных свободными для специалиста не является случайным: это варьируемые параметры процесса, при помощи которых можно выделять наиболее желательные реализации процесса!
A4*: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!
A5*: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.
Замечание:
отметим
ещё раз, что свободных неизвестных
:
их можно воспринимать как число степеней
свободы процесса; вычисляемых неизвестных
–
.
••• ≡ •••
Пример
14–1:
Исследовать
систему уравнений:
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1).
Составим матрицы:
=
,
=
.
2).
Найдем ранги матриц
и
.
Начнём с матрицы системы
.
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в правом верхнем
углу матрицы
:
-
3
4
1
2
3
6
8
2
5
7
1
9
12
3
10
13
2
1
3
3).
Окаймляющие миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=4·
–8·
+12·
=m1·(5)–h1·(4)+g1·(1)=4·(5)–8·(4)+12·(1)
=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа: (5),
(4),
(1)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(5)–h2·(4)+g2·(1)=
3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;
=
=
m3·(5)–h3·(4)+g3·(1)=
3·(5)–7·(4)+13·(1) =0.
4).
Так как все миноры 3-го порядка оказались
равными нулю, то
=
=2.
Это значит – система совместна.
5).
Учитывая расположение не равного нулю
минора, 3-е уравнение отбрасываем и
свободными неизвестными объявляем
и
:
далее применяем правило Крамера:
=1;
=
=
;
=
=1.
6).
Общее решение системы:
=
=
;
=
=1;
частное решение получим при значениях:
=–1,
=1,
→
=0,
=1.
Ответ:
общее решение:
=
=
;
=
=1;
частное решение: (–1,1,0,1).
Пример
14–2:
Исследовать
систему уравнений:
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1).
Составим матрицы:
=
,
=
.
2).
Найдем ранги матриц
и
.
Начнём с матрицы системы
.
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в правом верхнем
углу матрицы
:
|
|
3 |
-2 |
5 |
4 |
2 |
|
|
6 |
-4 |
4 |
3 |
3 |
|
1 |
9 |
-6 |
3 |
2 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
3 |
3).
Окаймляющие миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=(–2)·
–(–4)·
+(–6)·
=m1·(–1)–h1·(–2)+g1·(–1)=
= (–2)·(–1)–(–4)·(–2)+(–6)·(–1)=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа: (–1),
(–2),
(–1)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(–1)–h2·(–2)+g2·(–1)=3·(–1)–6·(–2)+9·(–1)=0;
=
=
m3·(–1)–h3·(–2)+g3·(–1)=
2·(–1)–3·(–2)+4·(–1)=0.
4).
Так как все миноры 3-го порядка оказались
равными нулю, то
=
=2.
Это значит – система совместна.
5).
Учитывая расположение не равного нулю
минора, 3-е уравнение отбрасываем и
свободными неизвестными объявляем
и
:
далее применяем правило Крамера:
=–1;
=
=
;
=
=
.
6).
Общее решение системы
=
=
,
=
=
,
частное решение получим при значениях:
=
=1,
→
=1,
=–1.
Ответ:
общее решение системы
=
=
,
=
=
;
частное: (1,1,1,–1).
Пример
14–3:
Исследовать
систему:
Найти общее и частное решение.
Решение:
1).
Составим матрицы:
=
,
=
.
2).
Найдем ранги матриц
и
.
Начнём с матрицы системы
.
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в правом верхнем
углу матрицы
:
|
|
2 |
-1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
6 |
-3 |
2 |
4 |
5 |
3 |
|
1 |
6 |
-3 |
4 |
8 |
13 |
9 |
|
2 |
4 |
-2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
4 |
3).
Окаймляющие миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца.
Замечание:
догадываемся, что после вычисления
не нужно переходить к вычислению миноров
,
,
,
а вычислить раньше минор
.
=
=4·
–8·
+13·
=m1·(–2)–h1·(–1)+g1·(0)=
=4·(–2)–8·(–1)+13·(0)=0.
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минору
,
числа: (–2),(–1),
(0) не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(–2)–h2·(–1)+g2·(0)=1·(–2)–1·(–1)+2·(0)
= –1≠0.
4).
Интуиция сработала! Так как
≠0,
то теперь будем окаймлять этот минор и
вычислять окаймляющие миноры. Для
удобства поменяем местами строки 3 и 4:
-
2
-1
1
2
3
2
6
-3
2
4
5
3
4
-2
1
1
2
1
1
6
-3
4
8
13
9
2
1
3
=
=(–1)·
–(–3)·
+(–2)·
–
(–3)·
,
или:
=m1·(–6)–h1·(–1)+g1·(0)
–q1·(–1)=(–1)·(–6)–(–3)·(–1)+(–2)·(0)–(–3)·(–1)
=0;
Замечание:
параметры: m1,h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа: (–12),(14),
(0), (–2)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=m2·(–6)–h2·(–1)+g2·(0)
–q2·(–1)=
2·(–6)–6·(–1)+4·(0)–6·(–1)
=0;
=
=
m3·(–6)–h3·(–1)+g3·(0)
–q3·(–1)=
2·(–6)–3·(–1)+1·(0)–9·(–1)
=0.
5).
Следует:
=
3. Учитывая расположение не равного нулю
минора, 3-е уравнение отбрасываем и
свободными неизвестными объявляем
и
:
далее
применяем правило Крамера, учитывая,
что определитель системы равен
=–1:
=
=
=
;
=
=
=0;
=
=
=–
.
6).
Общее решение системы:
=
=
;
=
=0;
=
=
;
частное решение получим при значениях:
=1,
=2,
→
=–1,
=0,
=1.
Ответ:
общее решение:
=
=
;
=
=0;
=
=
;
частное: (1,2,–1,0,1).
Пример
14–4:
Исследовать
систему уравнений:
Найти
общее решение и одно частное.
Решение:
1).
Составим матрицы:
=
,
=
.
2).
Найдем ранги матриц
и
.
Начнём с матрицы системы
.
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в левом верхнем
углу матрицы
:
|
|
2 |
7 |
3 |
1 |
6 |
|
|
3 |
5 |
2 |
2 |
4 |
|
1 |
9 |
4 |
1 |
7 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
3).
Окаймляющие миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=
3
–2
+1
=m1·(–33)–h1·(–55)+g1·(–11)=
=3·(–33)–2·(–55)+1·(–11) =0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа: (–33),
(–55),
(–11)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(–33)–h2·(–55)+g2·(–11)=
1·(–33) –2·(–55)+7·(–11)=0;
=
=
m3·(–33)–h3·(–55)+g3·(–11)=
6·(–33) –4·(–55)+2·(–11) =0.
4).
Следует: ранг матрицы
:
=2.
Так как
=
=2,
то система совместна.
5).
Учитывая расположение не равного нулю
минора, 3-е уравнение отбрасываем и
свободными неизвестными объявляем
и
:
далее применяем правило Крамера:
=
– 11;
=
=
;
=
=
.
6).
Запишем общее решение системы
=
;
=
.
Частное решение системы получим при
значениях:
=0,
=
1 →
=
–1,
=
1.
Ответ:
общее решение системы
=
,
=
;
частное решение: (–1,1,0,1).
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Как практически применяется теорема Кронекера-Капелли при решении системы линейных уравнений?
2. Можно ли провести полное исследование системы уравнений без использования теоремы Кронекера-Капелли?
3. Может
ли ранг расширенной матрицы
быть равным 7, а ранг А-матрицы
8 ? а наоборот?
4. Могут
ли ранги матриц А
и
равняться нулю?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C14–1:
Исследовать
совместность и найти общее решение
системы линейных уравнений в зависимости
от значения параметра
:
Ответ:
система имеет бесчисленное множество
решений, если
–1
= 0; если
–1≠
0, система имеет решение:
=
=
=
,
откуда следует: если
–2≠
0, и не имеет решения при
–2
= 0.
Пример
C14–2:
Исследовать
систему уравнений:
Найти общее решение и одно частное.
Ответ: система несовместна → решений нет.
Пример
C14–3:
Исследовать совместность системы
уравнений:
Найти
общее решение этой системы.
Ответ:
x1
=
x4
+
;
x2
=
;
x3
= –
x4
–
.
< * * * * * >