Занятие 13. Неоднородные системы уравнений. Решение системы уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.
☺ ☻ ☺
Пример
13–1:
Решить систему линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
3
-2
-5
1
3
1
1
-6
-4
6
2
-3
1
5
-3
0
-7
1
13
3
1
2
0
-4
-3
=(1)→
0
1
6
0
-9
=(2)→
1
-1
-4
9
22
0
-3
-4
13
25
-
1
2
0
-4
-3
1
2
0
-4
-3
0
1
6
0
-9
0
1
6
0
-9
0
0
43
13
-60
=(3)→
0
0
29
0
-58
=(4)→
0
0
14
13
-2
0
0
14
13
-2
Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]·2; [R4]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R4]+[R3]·3; [R1]+[R3]; поменяем местами строки [R2] и [R3]; [R3]+[R2]·7. (3): [R3]–[R4]. (4): раскрываем уравнения для вычислений.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.
3).
Из уравнения [R3]
следует:
=–2;
далее из уравнения [R4]:
=2;
из уравнения [R2]:
=3;
из уравнения [R1]:
=–1.
Ответ: (–1, 3, –2, 2).
Пример
13–2:
Решить систему
уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
35 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
|
|
|
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
70 |
=(1)→ |
0 |
1 |
3 |
6 |
10 |
35 |
=(2)→ |
||
|
1 |
4 |
10 |
20 |
35 |
126 |
|
|
0 |
1 |
4 |
10 |
20 |
56 |
|
|
|
1 |
5 |
15 |
35 |
70 |
210 |
|
|
0 |
1 |
5 |
15 |
35 |
84 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
15 |
=(3)→ |
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
15 |
=(4)→ |
||
|
0 |
0 |
1 |
4 |
10 |
21 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
6 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
5 |
15 |
28 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
14 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
16 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
9 |
=(5)→ |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
=(6)→ |
||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
Выполнены операции: (1): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]. (2): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]. (3): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R5]–[R4]. (4): [R4]–[R5]·4; [R3]–[R5]·6; [R2]–[R5]·4; [R1]–[R5]. (5): [R3]–[R4]·3; [R2]–[R4]·3; [R1]–[R4]; [R2]–[R3]·2; [R1]–[R3]; [R1]–[R2]. (6): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 5 → решение системы единственно.
3).
Из уравнения [R4]
следует:
=–2;
далее из уравнения [R2]:
5
=–5,
откуда вычисляем:
=–1;
из уравнения [R3]:
=
,
откуда вычисляем:
=3;
из уравнения [R5]:
=
,
откуда вычисляем:
=2.
; из уравнения [R1]:
=
,
откуда вычисляем:
=0.
4).
Читаем значения неизвестных:
(
,
,
,
,
)=(5,4,3,2,1).
Ответ:
(
,
,
,
,
)
=(5,4,3,2,1).
Пример
13–3:
Решить
систему уравнений:
по правилу Крамера.
Решение:
1)
Используя коэффициенты левой части
заданной системы линейных уравнений,
запишем определитель: 
=
и вычислим его:
=2.
2) Вычислим определители:
=
=2,
=
=2,
=
=–2,
=
=–2.
3)
Применяя формулы Крамера:
,
,
получаем:
=
=1,
=
=–1.
Ответ: решение: (1,1,–1,–1).
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Можно ли, применяя метод Гаусса, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?
2. Можно
ли решить систему уравнений методом
Гаусса, если все значения свободных
членов bi
,
=1,
2, …, n
равны нулю?
3. Можно ли любую систему уравнений записать в виде матричного уравнения AX = B?
4. Можно ли, применяя правило Крамера, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?
5. Можно
ли решить систему уравнений по правилу
Крамера, если все значения свободных
членов bi,
=
1,2, …,
n равны нулю?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C13–1:
Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Ответ: (2, 1, –3, 1).
Пример
C13–2:
Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Ответ: система уравнений несовместна.
Пример
C13–3:
Решить систему
уравнений:
по правилу Крамера.
Ответ: система уравнений решений не имеет.
< * * * * * >