33 Пособие по практике ла

Московский государственный институт электронной техники

(технический университет)

А. И. Литвинов

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

к практическим занятиям по «Линейная алгебра»

Утверждено методическим советом каф. ВМ-2

Зав. кафедры С. Г. Кальней

МИЭТ, 2011 г.

————————————————————————————————————————

Прочти, реши и опять прочти!..

Настоящее методическое пособие предназначено помочь студентам в освоении теоретических вопросов предмета «Линейная алгебра» путём использования подробно решённых задач и примеров.

Одновременно, пособие должно помочь наиболее мотивированным студентам развивать навыки самостоятельной работы, что очень важно при подготовке инженера любой специальности.

Тем, кто захочет воспользоваться возможностью показать себя постоянно и эффективно работающим, привлечь к себе внимание преподавателей и научных руководителей, приобрести авторитет среди своих товарищей, пособие тоже окажет помощь.

Рассмотренные и доступные с самого начала семестра материалы помогут качественно готовиться и к лекциям, и практическим занятиям, и к различным контрольным испытаниям.

Содержание:

№	Тема занятия:	Стр.
9.	Определители n-го порядка: свойства определителей и способы вычисления.	2
10.	Линейные операции с матрицами: умножение на число и сложение матриц. Произведение матриц. Вырожденные матрицы. Определитель произведения квадратных матриц.	5
11.	Обратная матрица: определение, способы вычисления. Матричные уравнения и способы их решения.	8
12.	Линейное пространство n-векторов. Линейная зависимость n-векторов. Определения ранга матрицы и его вычисление для совокупности векторов и матрицы.	12
13.	Неоднородные системы уравнений. Решение системы уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.	16
14.	Неоднородные системы уравнений. Общее решение систем уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.	20
15.	Однородные системы уравнений. Общее решение системы уравнений, Фундаментальная система решений. Связь решения неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной системы.	27
16.	Контрольная работа №2. Прием части-2 БДЗ.	32
17.	Систематизация материала по всем темам Занятий 1-16. О подготовке к экзамену.	32

•◄●►•

Замечание: если в рассматриваемом Задании пример имеет номер 9-5, это значит, что в Задании 9 пример имеет номер по порядку 5.

Занятие 9. Определители n-го порядка: свойства определителей и способы вычисления.

☺ ☻ ☺

Пример 9–1: Разлагая определитель по 2-му столбцу, вычислить: .

Решение:

Замечание: удобно вынести множитель из столбца-4, и только потом применять разложение по столбцу!

1) Запишем: –d= a+ b+ c+ e,

или: d=–+–.

2) Вычислим все определители разложения: =(1)= = (2) ==2.

Операции: (1): [C1]–[C3]. (2): применяем разложение определителя по столбцу-1 и завершаем вычисление.

=(1)= = (2) =4·=8.

Операции: (1): [C1]–[C3]. (2): применяем разложение определителя по столбцу-2 и завершаем вычисление.

=(1)= = (2) ==1·=1.

Операции: (1): [R3]–[R2];. (2): [C1]–[C3]. (3): применяем разложение определителя по строке-3 и завершаем вычисление.

=(1)= = (2) == (3) =–1=–5.

Операции: (1): [C1]–[C2]. (2): [R1]+[R3]·3. (3): применяем разложение определителя по столбцу-1 и завершаем вычисление.

3) Окончательно имеем: = .

Ответ: d =.

Пример 9–2: Вычислить определитель: .

Решение:

Воспользуемся свойствами определителя и вычислим:

=(1)= –e·= (2) =–·=.

Операции: (1): применим разложение определителя по строке-4. (2): применяем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.

Ответ: .

Пример 9–3: Вычислить определитель: разложением по строке (столбцу).

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d = (1)==(2)=10·=(3)=10·=100.

Операции: (1): [C1]–[C5]; [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]·2; [R5]–[R1]·2. (2): применяем разложение определителя по столбцу-1, вынося множитель 2 из получающегося определителя 4-го порядка. (3): [R3]+[R1]; [R4]–[R1]. (4): получен определитель треугольного вида → завершаем вычисление.

Ответ: d =100.

Пример 9–4: Вычислить определитель: .

Решение:

1) Запишем: d=(1)==(2)==(3)==(4)=

==(5)==5.

Операции: (1): [C2]–[C3]; [C2]–[C3] ; [C4]–[C1] ; [C3]–[C4]. (2): [R1]–[R5]. (3): применяем разложение определителя по строке-1. (4): [R1]–[R4]. (5): применяем разложение определителя по строке-1; [R1]–[R3] и завершаем вычисление.

Ответ: d =5.

Пример 9–5: Вычислить определитель: d=.

Решение:

Используя свойства определителя, выполним действия:

1) Прибавим 1-ю строку к 2-й, 3-й, и т.д. строкам → получен определитель треугольного вида с элементами на главной диагонали 1, 2, 3, …, n;

2) Известно, что такой определитель равен произведению элементов расположенных на главной диагонали: 1·2·3· … · n = n!

Ответ: d= n!

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Может ли определитель n-го порядка не быть числом?

2. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот?

3. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами?

4. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку?

5. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец?

6. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем строку умножить на число?

7. Применение теоремы Лапласа предполагает уменьшение трудоемкости вычисления определителей высокого по­рядка?

Задачи для самоподготовки:

Пример C9–1: Разлагая определитель по 3-й строке, вычислить: .

Ответ: d =.

Пример C9–2: Вычислить определитель: .

Ответ: .

Пример C9–3: Вычислить определитель: .

Ответ: d =5.

Пример C9–4: Вычислить определитель: .

Ответ: d =n!.

< * * * * * >