§ 3. Положительно и отрицательно определенные формы. Критерий Сильвестра.

Как отмечалось в начале знакомства с квадратичными формами, результаты исследований свойств квадратичных форм могут эффективно использоваться в геометрии: теория кривых и поверхностей 2-го порядка. Не менее эффективно используют теорию квадратичных форм и в математическом анализе: исследование экстремумов функций нескольких переменных. Для применения в математическом анализе важны понятия, устанавливаемые в следующих определениях.

Определение: (11.4)

Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если = и она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют только положительные слагаемые: =++…+. (1)

Нетрудно заметить, что положительно определённая квадратичная форма в записи (1) принимает положительное значение, если хотя бы одна из переменных величин: ,,..., не равна нулю.

Определение: (11.5)

Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется отрицательно определенной, если = и она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют только отрицательные слагаемые: =–––…–. (2)

Нетрудно заметить, что отрицательно определённая квадратичная форма в записи (1) принимает только отрицательные значение, если хотя бы одна из переменных величин: ,,..., не равна нулю.

Определение: (11.6)

Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется полуопределенной, если < и она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют слагаемые одного знака.

Нетрудно заметить, что полуопределённая квадратичная форма может принимать нулевые значения, даже в случае, когда не все переменные величины: ,,..., равны нулю.

Определение: (11.7)

Квадратичная матрица с действительными коэффициентами называется неопределенной, если она приводится к нормальному виду, в котором присутствуют как положительные, так и отрицательные слагаемые.

Нетрудно заметить, что неопределённая квадратичная форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Когда квадратичная форма приведена к каноническому, или нормальному, виду, определить будет она положительно определённой или нет, несложно. Рассматривая примеры приведения квадратичной формы к каноническому и нормальному виду, мы могли убедиться в том, что процесс этот весьма трудоёмкий! Возникает вопрос, а нельзя ли, имея матрицу квадратичной формы, определить по ее коэффициентам будет она положительно определенной, или нет. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема: (11.8)

Квадратичная форма f от n неизвестных x=(,,...,) с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если при всяких действительных значениях этих неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.

►Пусть положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием : y=(,,...,)=(,,...,)· приведена к нормальному виду:

f = ++…+. (1)

Если рассматривать значения формы f при различных значениях x=(,,...,), причем хотя бы одно из них не равно нулю, то необходимо сначала вычислить =·. Значения переменных y: (,,...,) не могут все сразу обратиться в нуль, так как в этом случае определитель системы линейных однородных уравнений: (,,...,)·=0 должен быть равным нулю. Но это значит: ||=0. Последнее невозможно: матрица невырожденная!

Итак, если квадратичная форма положительно определенная, она принимает положительное значение при любом наборе значений переменных x: (,,...,), хотя бы одно из которых не равно нулю.

Если квадратичная форма не является положительно определенной, то есть может быть приведена к виду:

f = ++…+––…–,

то легко подобрать такие значения переменных x: (,,...,), причём хотя бы одно из них не равно нулю, что форма будет принимать любое (наперед заданное!) значение: как положительное, так и отрицательное. ◄

Доказанная теорема (на первый взгляд!) не продвинула нас к реализации идеи (желания): определить по ее коэффициентам будет она положительно определенной, или нет.

Рассмотрим последовательность миноров матрицы , определяющей квадратичную форму f:

∆₁ =, ∆₂ =,..., ∆_k=, … , ∆_n =. (2)

Определение: (11.8)

Последовательность миноров (2) определителя матрицы называется последовательностью главных миноров формы f.

Оказалось (!), при помощи главных миноров квадратичной формы, значит, при помощи коэффициентов формы, вопросы, связанные с положительно (и отрицательно) определенными формами, могут быть решены полностью. Это устанавливает следующая теорема.

Теорема: (11.9)

Квадратичная форма f от n неизвестных x: (,,...,) с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все ее главные миноры строго положительны.

►1). Пусть квадратичная форма положительно определенная. Это значит, что матрица квадратичной формы, представленной в нормальном виде, имеет определитель: ||=1. Докажем, что все главные миноры матрицы строго положительны. Воспользуемся методом индукции.

♦ При =1 форма: = a₁₁, ее матрица =(a₁₁), единственный минор равен числу a₁₁ . Форма положительно определенная → число a₁₁>0, то есть главный минор строго положителен.

♦ Пусть утверждение верно для (-1): форма положительно определенная → все главные миноры строго положительны.

♦ Пусть имеем форму: f ==(,,...,)+2+·,

где – квадратичная форма от (-1) неизвестных переменных x: (,,...,), без переменной . Главные миноры формы совпадают с главными минорами формы , кроме последнего. Так как форма f положительно определенная, то тоже положительно определенная: если она принимает значение ≤ 0, при =0 и форма приняла бы это же значение, что противоречит допущению.

Что касается последнего главного минора формы , то он строго положителен, так как определитель матрицы формы нормального вида: ||>0. Согласно Теореме 11.2 определитель матрицы тоже > 0.

2). Пусть теперь все главные миноры матрицы строго положительны. Значит, строго положительны все главные миноры формы . Воспользуемся методом индукции.

♦ При =1 единственный минор (главный) равен числу a₁₁> 0 → форма =a₁₁ положительно определенная.

♦ Пусть утверждение верно для (-1): все главные миноры строго положительны → форма положительно определенная.

♦ Пусть имеем форму: f ==(,,...,)+2+·,

где – квадратичная форма от (n-1) неизвестных переменных x: (,,...,), без переменной . Главные миноры формы совпадают с главными минорами формы , кроме последнего. Пусть все главные миноры строго положительны. По предположению индукции форма положительно определенная и может быть невырожденным линейным преобразованием приведена к виду суммы (-1) положительных квадратов от новых неизвестных переменных y: (,,...,). Дополним это преобразование до линейного (невырожденного) преобразования неизвестных переменных x: (,,...,), полагая значение переменной: = → получим:

f = +2+·, (3)

причем точные выражения коэффициентов b_in не требуются. Запишем тождество:

+2 =–. (4)

Далее применим невырожденное линейное преобразование переменных квадратичной формы (3):

=, =,=. (5)

Легко видеть, что преобразование переменных: (4) приводит форму к каноническому виду: f = +c. (6)

Матрица квадратичной формы (6) получена двумя невырожденными преобразованиями переменных формы. Значит матрица - невырожденная. Так как по условию главный минор заданной квадратичной формы: ||>0, то, в соответствии с Теоремой 11.2, необходимо ||>0. Из этого следует, что с – положительное число. Следовательно, форма положительно определенная. ◄

Следствие: для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно выполнения неравенств: ∆₁ < 0, ∆₂ > 0,…, (–1)ⁿ∆_n > 0.

►Приведем отрицательно определенную форму к положительно определенной форме умножением ее на число (–1). Это значит, что матрицей преобразованной квадратичной формы будет матрица: –, то есть каждый элемент матрицы умножается на число (–1). В таком случае каждый главный минор порядка k матрицы – есть минор ∆_k порядка k матрицы , умноженный на (–1)^k (здесь используется свойство определителя: из каждой строки (столбца) выносим (–1) за знак определителя). Используем утверждение Теоремы 11.9 и убеждаемся в верности Следствия. ◄

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих принятые определения и доказанные теоремы о положительно и отрицательно определённых формах.

☺☺

Пример 11–07:Задана квадратичная форма: =. Не приводя формук каноническому виду, доказать, что форма – положительно определённая.

Решение:

1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: =.

2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу :

=5 → =1 →=1.

3). Так как все главные миноры квадратичной формы положительны, то заданная квадратичная форма – положительно определённая.

Ответ: доказано.

Пример 11–08:Задана квадратичная форма: =. Не приводя формук каноническому виду, определить тип квадратичной формы.

Решение:

1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: =.

2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу :

=3 → =–1 →=–1.

3). Значения главных миноров квадратичной формы соответствуют неопределённой квадратичной форме.

Ответ: квадратичная форма - неопределённая.

Пример 11–09:Задана квадратичная форма: =. Не приводя формук каноническому виду, определить тип квадратичной формы.

Решение:

1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: =.

2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу :

=–11< 0 →=30> 0→ =–81<0.

3). Значения главных миноров квадратичной формы соответствуют отрицательно определённой квадратичной форме.

Ответ: квадратичная форма – отрицательно определённая.

Пример 11–10:Задана квадратичная форма: =. Не приводя формук каноническому виду, определить тип квадратичной формы.

Решение:

0). Чтобы не избежать вычислений с дробями будем исследовать квадратичную форму, тип которой совпадает с типом заданной форм: =2=.

1). Составим матрицу заданной квадратичной формы :=.

2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу :

=4→=–1< 0→ =–20< 0→ = 4 > 0.

3). Значения главных миноров квадратичной формы соответствуют неопределённой квадратичной форме.

Ответ: квадратичная форма – неопределённая.

Пример 11–11:Задана квадратичная форма: =. Найти все значения , при которых квадратичная форма – положительно определённая.

Решение:

1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: =.

2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу :

=5 → =1 →=–2.

3). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо, чтобы выполнялось условие: –2>0.

Ответ: квадратичная форма будет положительно определённая при условии: >2.

Пример 11–12:Задана квадратичная форма: =. Найти все значения , при которых квадратичная форма – положительно определённая.

Решение:

1). Составим матрицу заданной квадратичной формы: =.

2). Вычислим главные миноры заданной квадратичной формы, учитывая матрицу :

=1 → =4–→==–(–30+105).

3). Решение системы неравенств: 4–>0, (–30+105)<0 – пустое множество.Следует: нет таких значений , при которых квадратичная форма могла бы быть положительно определённой.

Ответ:нет таких значений , при которых квадратичная форма могла бы быть положительно определённой.

☻

Набор поясняющих примеров иллюстрирует наиболее сложные теоретические вопросы и предлагает рациональные схемы вычислений участвующих величин.