§ 1. Определение. Преобразования квадратичной формы.

После того, как теория простейших квадратичных форм типа (5), используемых в геометрии, была достаточно развита, наступил черёд за алгеброй: использовать произвольное число переменных: x₁,x₂,…,.

Определение: (11.1)

Квадратичной формой f от n неизвестных x1,x2,…, называется сумма, каждый член которой является или квадратом неизвестной, или произведением двух разных неизвестных.

Учитывая, что =, коэффициенты при произведениях и , , а именно и , примем равными. Это значит, что +=. Также учтём, что при условии получим слагаемое: . Такое соглашение позволяет записать: f =.

Из определения квадратичной формы следует, что она однозначно определяется заданием квадратной матрицы: =. Учитывая принятые соглашения, нетрудно заметить, что матрица - симметрическая. В этой матрице элементы, расположенные на главной диагонали, соответствуют коэффициентам при квадратах неизвестных, а элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. Ранг матрицы называют рангом квадратичной формы.

Определение: (11.2)

Матрица , равная своей транспонированной - , называется симметрической матрицей.

Если представить совокупность неизвестных x₁,x₂,…, в виде матрицы-столбца , то эту же совокупность неизвестных, записанных в виде матрицы-строки, будем обозначать как , то есть как результат транспонирования матрицы . Тогда, квадратичная форма от неизвестных x₁,x₂,…, может быть записана в виде:

=, или =(x₁,x₂,…,)··. (1)

При исследовании квадратичной формы возникает необходимость преобразовать неизвестные. Это мы видели на примере квадратичных форм для двух и для трёх переменных. Рассмотрим линейное преобразование переменных x₁,x₂,…,:

=, или =·. (2)

Для матрицы = транспонированной будет матрица: =. Тогда квадратичная форма примет вид:

f ==.

Для матрицы = докажем важное для дальнейшего использования свойство:

Теорема: (11.1)

Матрица = – симметрическая, то есть: =.

►Действительно, используя теорему о симметричной матрице произведения матриц, а также свойство матрицы квадратичной формы: =, можем записать:

=(Q′АQ)′= Q′(Q′А)′= =[так как =]=,

откуда и следует верность утверждения. ◄

Следствие: квадратичная форма от n неизвестных, имеющая матрицу , после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей =.

Для матрицы докажем ещё одно важное для дальнейшего использования свойство:

Теорема: (11.2)

Знаки определителей – исходной и – преобразованной квадратичных форм совпадают.

►Действительно, можем записать:

== (1) == (2) =,

где (1): реализует утверждение о том, что определитель произведения матриц равен произведению определитель матриц-сомножителей; (2): реализует утверждение о том, что транспонирование не меняет определитель. ◄

Следствие: если матрица невырожденная, то ранг матрицы = равен рангу матрицы .

Рассмотрим теперь, по аналогии с задачами геометрии, задачу приведения квадратичной формы к каноническому виду. Пусть невырожденным преобразованием переменных удалось привести квадратичную форму к каноническому виду:

f =++…+, (3)

где y₁,y₂,…, - новые переменные; некоторые из коэффициентов: b₁,b₂,…,, конечно, могут быть нулями.

Теорема: (11.3)

В записи квадратичной формы (3) число отличных от нуля коэффициентов непременно равно рангу квадратичной формы.

►Действительно, так как к записи (3) квадратичной формы мы пришли в результате невырожденного линейного преобразования переменных, то ранги матриц и равны. Но матрицей квадратичной формы (3) является диагональная матрица: = . Так как ранг матрицы должен быть равен рангу матрицы : ==, то число элементов матрицы , расположенных на главной диагонали, не равных нулю, должно быть . ◄

Так как мы рассматриваем квадратичные формы с действительными коэффициентами, то и элементы матрицы линейного преобразования переменных также будем считать действительными. Для таких квадратичных форм верна следующая теорема.

Теорема: (11.4)

Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если рассматриваются действительные квадратичные формы, то все коэффициенты линейного преобразования можно считать действительными.

►Пусть имеем квадратичную форму: f =. Доказательство теоремы проводится последовательным выделением из общей записи формы квадратов отдельных неизвестных так, что порядок не преобразованной части формы понижается.

Будем различать исходные состояния формы:

R¹: в записи присутствует квадрат хотя бы одной переменной.

R²: в записи нет квадрата ни одной переменной.

R¹. Пусть на первом шаге в записи присутствует квадрат хотя бы одной переменной, пусть это будет x₁. В общем случае в форме будут присутствовать члены формы с участием переменной x₁. Запишем такую форму:

= f –, (4)

в форме нет слагаемых с неизвестной x₁. Введем преобразование переменных:

или =·, или =·. (5)

Замечание: матрица определяет преобразование перехода от старых неизвестных к новым неизвестным.

В результате невырожденного линейного преобразования (5) получим новое выражение для квадратичной формы:

f = ·+ g. (6)

Если в записи g опять присутствует хотя бы один квадрат неизвестной, например, квадрат неизвестной x₂, вновь повторим представленные в R¹ действия.

R². Пусть теперь в записи нет ни одного квадрата неизвестных, но есть их произведения, пусть это будет x₁ и x₂. Введем преобразование переменных:

=·, или =·. (7)

Замечание: матрица определяет преобразование перехода от новых неизвестных к старым неизвестным.

В результате невырожденного линейного преобразования переменных (7) в квадратичной форме получим слагаемые:

2=2= 2a₁₂–2a₁₂.

Далее вновь можно применить действия R¹. Итак, на каждом показанном шаге преобразованиям неизвестных используются невырожденные матрицы вида ,.

Замечание: матрицы и преобразования неизвестных записаны с учётом применения записи для произведения квадратной матрицы на матрицу-столбец: это многими воспринимается проще, чем транспонированное произведение: умножение матрицы-строки на квадратную матрицу преобразования.

Применяя конечное число шагов типа R¹ и R², придём к канонической форме записи квадратичной формы:

f =++…+, (3)

где u₁, u₂,…, - новые переменные; причём, среди коэффициентов: b₁,b₂,…, только коэффициентов не равны нулю. ◄

Замечание: доказательство теоремы использует способ приведения квадратичной формы к канонической записи; если количество неизвестных небольшое, этот способ вполне эффективно применяют на практике.

☺☺

Пример 11–01:Привести к каноническому виду квадратичную форму: =.

Решение:

1). Так как в записи формы нет квадратов неизвестных, то применим преобразование R². Учитывая, что зрительные образы алгоритмов преобразования квадратичных форм формируются не просто, изобразим наши действия:

															Замена:
	0				=						0	1	1		=–, =+, =.						1	-1	0
		0									1	0	-3								1	1	0
			0								1	-3	0								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что все коэффициенты при квадратах переменных равны нулю, и нужно применять преобразование:R²; средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили из произведения переменныхполучить квадраты переменных:=; таблица замены показывает преобразование переменных; матрица отражает замену.

Изображение таблицей наших наблюдений и действий помогает записать матричное выражение применения невырожденного линейного преобразования переменных :

=·, или =·.

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы :

=. (1.1)

2). Так как в записи формы (1.1) естьневыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	2		-2		=						2	0	-2		=2–2, =, =.						2	0	-2
		-2									0	-2	-4								0	1	0
	-2		0								-2	-4	0								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеются коэффициенты при квадратах переменных не равные нулю: это слагаемыеи, причём переменные ивходят сомножителями и в другие слагаемые. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных:

=·, или =·. (1.2)

Для замены в форме (1.1) переменной на переменную из преобразования (1.2) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.3)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделен квадрат неизвестной :

=. (1.4)

3). Так как в записи формы (1.4) естьневыделенные квадратынеизвестныхи, то применим преобразованиеR¹.

=·, или =·. (1.5)

Для замены в форме (1.4) переменной на переменную из преобразования (1.5) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.6)

В результате невырожденного линейного преобразования переменных получим запись формы в каноническом виде:

=. (1.7)

4). Линейное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется цепочкой L¹преобразований переменных:

=·=··=··=·=·, или=·, или =·.

В этом случае для вычисления матрицы нужно сначала найти матрицу затем произведение матриц: = и потом обратную матрицу .

Если в исходную форму подставить выражение =·, то получим запись квадратичной формы в виде (1.7).

Замечание: нахождение матрицы и затем матрицы - процесс стандартный, но весьма трудоёмкий; в связи с этим возникает желание как-то его облегчить.

5). Построим ещё одну цепочку L²преобразований переменных:

=·=··=··=·=·.

В этом случае для вычисления матрицы нужно найти произведение матриц: , и , которые мы получаем по мере реализации алгоритма приведения квадратичной формы к каноническому виду.

В таком случае на замечание ответим: алгоритм вычисления матрицы с использованием цепочки L² – значительно менее трудоёмкий.

Ответ: каноническая запись формы: =, матрица преобразования: .

☻

Возникшее при решении Примера 11–01 замечание и последовавшая реакция на него: поиск различных алгоритмов вычисления матрицы привели к теореме:

Теорема: (11.5)

Пусть имеем цепочку невырожденных преобразований переменных в квадратичной форме: =·→=·→=·, то есть: =·=·. Тогда верно равенство: ==.

►Действительно, если в цепочке L¹ преобразований переменных обозначить: =, получим выражение: =. Из цепочки L² получаем: ==. ◄

Замечание: в дальнейших примерах, ссылаясь на эту теорему, автор решения задачи выбирает алгоритм вычисления матрицы по своему усмотрению, без обоснования принятого к использованию алгоритма.

Продолжим рассмотрение примеров, иллюстрирующих процесс поиска преобразований переменных, приводящий квадратичную форму к каноническому виду.

☺☺

Пример 11–02:Привести квадратичную форму: =к каноническому виду.

Решение:

1). Так как в записи формы есть невыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	1	2	1		=						1	2	1		=+2+, =, =.						1	2	1
	2										2	1	1								0	1	0
	1										1	1	3								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеетсяневыделенный квадрат переменной при наличии в записи слагаемого и слагаемых: , куда переменная входит сомножителем. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных:

=·, или =·. (1.1)

Для замены в заданной форме переменной на переменную из преобразования (1.1) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.2)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделен квадрат неизвестной :

=. (1.3)

2). Так как в записи формы есть невыделенные квадратынеизвестных, то применим преобразованиеR¹, причём станем выделять квадрат переменной:

=·, или =·. (1.4)

Для замены в форме (1.3) переменной на переменную из преобразования (1.4) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.5)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделены квадраты всех неизвестных. Получена запись квадратичной формы в каноническом виде: =. (1.6)

3). Если применим преобразование: =,=,=, то квадратичная форма примет вид:

=. (1.7)

Замечание: применяя преобразования переменных, видим возможности для авторских импровизаций; на последнем шаге вполне обеспечивается запись: =.

Ответ: каноническая запись формы: =.

Пример 11–03: Найти невырожденное линейное преобразование,приводящее квадратичную форму: =к каноническому виду.

Решение:

1). Так как в записи формы есть невыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	2	-6	4		=						2	-6	4		=2–6+4, =, =.						2	-6	4
	-6										-6	18	-								0	1	0
	4										4	-	8								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеетсяневыделенный квадрат переменной при наличии в записи слагаемого и слагаемых: , куда переменная входит сомножителем. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных: =·, или=·. (1.1)

Для замены в заданной форме переменной на переменную из преобразования (1.1) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.2)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделен квадрат неизвестной :

=. (1.3)

2). Так как в записи формы есть невыделенные квадратынеизвестных, то применим преобразованиеR¹, причём станем выделять квадрат переменной:

=·, или =·. (1.4)

Для замены в форме (1.3) переменной на переменную из преобразования (1.4) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.5)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделены квадраты всех неизвестных. Получена запись квадратичной формы в каноническом виде:

=. (1.6)

3). Если применим преобразование: =,=,=, то квадратичная форма примет вид:=. (1.7)

4). Воспользуемся цепочкой преобразований переменных:

=,=,=→==,==,==→

→ ==;==;=.

В результате применения цепочки преобразований мы получили выражение всех исходных переменных через переменные , входящие в каноническую запись квадратичной формы. Таким образом, получен ещё один способ вычисления матрицы невырожденного линейного преобразования . Это значит, получена матричная запись линейного преобразования переменных квадратичной формы:

=·→ =·.

Замечание: здесь вычисление матрицы преобразования переменных выполнено за счёт последовательных замен переменных в обратном порядке: от переменной к переменной .

Ответ: каноническая запись формы: =, преобразование:=·.

Пример 11–04: Найти невырожденное линейное преобразование,приводящее квадратичную форму: =к каноническому виду. Показать выражение новых переменных через старые переменные.

Решение:

1). Так как в записи формы есть невыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	2	-1	2		=						2	-1	2		=2–+2, =, =.						2	-1	2
	-1										-1	3	-								0	1	0
	2										2	-	4								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеетсяневыделенный квадрат переменной при наличии в записи слагаемого и слагаемых: , куда переменная входит сомножителем. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных:

=·, или=·. (1.1)

Для замены в заданной форме переменной на переменную из преобразования (1.1) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.2)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделен квадрат неизвестной :

=. (1.3)

2). Так как в записи формы есть невыделенные квадратынеизвестных, то применим преобразованиеR¹, причём станем выделять квадрат переменной:

=·, или =·. (1.4)

Для замены в форме (1.3) переменной на переменную из преобразования (1.4) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.5)

Подставляя выражения ,, в запись (1.3) формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделены квадраты всех неизвестных. Получена запись квадратичной формы в каноническом виде:

==. (1.6)

3). Если применим преобразование: =,=,=, то в канонической записи квадратичной формы все коэффициенты при квадратах переменных –целые числа:

=. (1.7)

4). Воспользуемся цепочкой преобразований переменных:

===(2–+2)=–+,

===,===–+,

Замечание: выражения для переменных через переменные получены непосредственной заменой переменных по цепочке: .

Ответ: каноническая запись: =, где:=–+,=,=–+.

☻