§ 2. Закон инерции.

Во всех рассмотренных примерах есть одно общее – непредсказуемость окончательного выражения для канонической записи квадратичной формы: всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. В связи с этим возникают вопросы:

▫ что общего между этими различными каноническими записями одной и той же исходной квадратичной формы;

▫ можно ли невырожденным преобразованием эти различные канонические записи свести к одной и той же записи;

▫ более широко: при каких условиях можно различные канонические формы свести к одной и той же записи?

Для того, чтобы получить наиболее общие результаты, предположим, что квадратичные формы могут использовать как действительные коэффициенты, так и комплексные. В первом случае будем называть квадратичную форму комплексной, во втором – действительной.

Пусть имеем комплексную квадратичную форму. Пусть невырожденным линейным преобразованием переменных, в котором могли использоваться и комплексные числа, удалось привести квадратичную форму к каноническому виду:

f =++…+, (4)

где все коэффициенты: b₁,b₂,…, отличны от нуля, причём - ранг квадратичной формы.

Так как для комплексных чисел извлечение квадратного корня выполнимо для любых комплексных чисел, можем применить ещё одно линейное невырожденное преобразование переменных:

=,=,...,=,=,..., =. (5)

Выражения (4) и (5) показывают, что любая квадратичная форма ранга в поле комплексных чисел может быть приведена невырожденным преобразованием к записи:

=++…+, (6)

запись квадратичной формы в виде (6) называют записью квадратичной формы в нормальном виде: все коэффициенты при квадратах переменных равны единице.

Пусть имеем две квадратичные формы и одинакового ранга . Для того, что невырожденным преобразованием переменных перевести форму в форму , необходимо выполнить действия:

A¹: перевести форму к виду: =++…+.

A²: перевести форму к виду: =++…+.

A³: от записи: =++…+, используя невырожденные преобразования переменных формы в обратном порядке, получаем исходную запись квадратичной формы g.

Так как невырожденное линейное преобразование неизвестных не изменяет ранга квадратичной формы, то приходим к результату:

Теорема: (11.6)

Две комплексные квадратичные формы от n неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг.

Следствие: каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга r может служить всякая сумма квадратов r неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами.

Пусть имеем действительную квадратичную форму. Пусть невырожденным линейным преобразованием переменных, в котором могли использоваться только действительные числа, удалось привести квадратичную форму к каноническому виду:

=++…+––…–. (7)

где все коэффициенты: b₁,b₂,…, больше нуля, причём - ранг квадратичной формы.

Применим ещё одно линейное невырожденное преобразование переменных с действительными коэффициентами:

=,=,...,=,=,..., =. (8)

Выражения (7) и (8) показывают, что любая действительная квадратичная форма ранга в поле действительных чисел может быть приведена невырожденным преобразованием к нормальному виду:

=++…+––…–. (9)

Как было отмечено, линейные преобразования квадратичной формы допускают импровизации, приводящие к различным каноническим записям (7). То, что в записях вида (7) число коэффициентов не равных нулю , было доказано. Остаётся выяснить, могут ли отличаться записи (9) для одной и той же квадратичной формы при различных линейных преобразованиях переменных. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема: (11.7)

Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

►Пусть = - действительная квадратичная форма с переменными x₁,x₂,…, . Пусть к этой квадратичной форме применены два различных действительных невырожденных линейных преобразований переменных:

=, = 1,2,…,n; =, = 1,2,…,n, (10)

причём, преобразования (10) такие, что заданная квадратичная форма приведена ими к различным выражениям нормального вида:

f =++…+––…–, f =++…+ ––…–.(11)

Замечание: учтём: все=0,...,=0 и все=0,...,=0 в выражениях (10); это будет играть существенную роль в доказательстве теоремы.

Учитывая теорему о ранге квадратичной формы, пока что мы можем утверждать, что слагаемых в любой записи нормального вида одной и той же квадратичной формы всегда . Пусть в этих записях число положительных слагаемых различно, причём: k < m. Допустим, что существуют такие значения переменных x₁,x₂,…,, что будут одновременно выполнены равенства:

=0, =0,...,=0, =0,...,=0.(12)

Возможно ли это? Для ответа на этот вопрос применим иллюстрацию совокупности равенств (12), приняв: =24, =15, k =5, m =8.

	1	2		...	5	6	...	8	9			...			15	16		...		8	9		...	24
=0: из записи (10)
=0: из записи (12)
=0: из записи (12)
Всего уравнений:

Из таблицы хорошо видно, что для нахождения множества решений системы однородных уравнений с неизвестными: x₁,x₂,…,, определяемыми условиями (10) и (11) имеется уравнений: =<. Это значит, что ненулевые решения имеются: этих решений бесчисленное множество.

Используя одно из полученных ненулевых решений ,,…,, преобразуем правые части равенств (11) и приравняем их:

––…–=++…+ . (13)

Так как в преобразованиях неизвестных все коэффициенты действительные числа, то в выражении (3) все квадраты показанных переменных неотрицательные. Но тогда равенство (13) возможно только при равенстве нулю всех квадратов, входящих в правую и левую части равенства. Для нас важен факт, что потребовалось равенство нулю всех переменных :

=0, =0,...,=0, =0,..., =0. (14)

Но, система равенств, с учётом выражений (10), есть система однородных уравнений с неизвестными: x₁,x₂,…,. Так как линейные преобразования переменных в квадратичных формах - невырожденные, то определитель системы уравнений (14) не равен нулю. Но, тогда эта система уравнений имеет единственное решение – нулевое. Это значит, что предположение, что возможно неравенство: k < m не верно. Отсюда следует, что k =m. Так как обозначения переменных в выражениях (10) определяется исследователем, то и предположение: k > m не допустимо. ◄

Определение: (11.3)

В действительной квадратичной форме: число k положительных квадратов называют положительным индексом инерции, а число отрицательных – отрицательным индексом: . Разность положительных и отрицательных индексов называют сигнатурой квадратичной формы .

Следствие: Если имеем две квадратичные формы от неизвестных и их ранги совпадают, то, очевидно, они приводятся к одной и той же нормальной форме: у них совпадают и ранги, и положительные индексы, а значит, и отрицательные индексы, и сигнатуры! Это можно считать условием перевода одной квадратичной формы в другую.

Для того, чтобы квадратичная форма приводилась к нормальному виду, где имеются только положительные слагаемые, нужно, чтобы положительный индекс инерции формы совпадал с ее рангом.

Продолжим рассмотрение примеров, иллюстрирующих процесс преобразований переменных квадратичной формы.

☺☺

Пример 11–05:Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду квадратичную форму: f =.

.

Решение:

1). Так как в записи формы есть невыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	1	1	-2		=						1	1	-2		=+–2, =, =.						1	1	-2
	1										1	5	0								0	1	0
	-2										-2	0	-4								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеетсяневыделенный квадрат переменной при наличии в записи слагаемого и слагаемых: , куда переменная входит сомножителем. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных:

=·, или=·. (1.1)

Для замены в заданной форме переменной на переменную из преобразования (1.1) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.2)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделен квадрат неизвестной :

=. (1.3)

2). Так как в записи формы есть невыделенные квадратынеизвестных, то применим преобразованиеR¹, причём станем выделять квадрат переменной:

=·, или =·. (1.4)

Для замены в форме (1.3) переменной на переменную из преобразования (1.4) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.5)

Подставляя выражения ,, в запись (1.3) формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделены квадраты всех неизвестных. Получена запись квадратичной формы в каноническом виде:

=. (1.6)

3). Применим преобразование: =,=,=3, то есть:=·. Тогда квадратичная форма приобретает нормальный вид:=. (1.7)

4). Воспользуемся цепочкой преобразований переменных :

=–+, =–, =. (1.8)

Ответ: нормальный вид формы: =. Невырожденное линейное преобразование, переводящее форму к каноническому виду:=·.

Пример 11–06: Заданы две квадратичные формы: =и =. Найти невырожденное линейное преобразование переменных, переводящее форму в форму.

Решение:

Общая схема решения задачи:

A¹: приводим форму к нормальному виду и определяем выражения новых переменных через старые.

A²: приводим форму к нормальному виду и определяем выражения старых переменных через новые.

A³: определяем линейное преобразование: =,=.

A¹:приводим форму к нормальному виду.

1). Так как в записи формы есть невыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	2	4	-2		=						2	4	-2		=2+4–2, =, =.						2	4	-2
	4										4	9	-5								0	1	0
	-2										-2	-5	3								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеетсяневыделенный квадрат переменной при наличии в записи слагаемого и слагаемых: , куда переменная входит сомножителем. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных:

=·, или=·. (1.1)

Для замены в заданной форме переменной на переменную из преобразования (1.1) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.2)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделен квадрат неизвестной :

=. (1.3)

2). Так как в записи формы есть невыделенные квадратынеизвестных, то применим преобразованиеR¹, причём станем выделять квадрат переменной:

=·, или =·. (1.4)

Для замены в форме (1.3) переменной на переменную из преобразования (1.4) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.5)

Подставляя выражения ,, в запись (1.3) формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделены квадраты всех неизвестных. Получена запись квадратичной формы в каноническом виде: =. (1.6)

3). Если применим преобразование: =,=,=, то запись квадратичной формы приобретает нормальный вид:=. (1.7)

4). Воспользуемся цепочкой преобразований переменных:

===(2+4–2)=(+2–),

==–=–,===,

A²:приводим форму к нормальному виду.

1). Так как в записи формы: =естьневыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	2	-2	-2		=						2	-2	-2		=2–2–2, =, =.						2	-2	-2
	-2										-2	3	4								0	1	0
	-2										-2	4	6								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеетсяневыделенный квадрат переменной при наличии в записи слагаемого и слагаемых: , куда переменная входит сомножителем. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных: =·, или=·. (2.1)

Для замены в заданной форме переменной на переменную из преобразования (1.1) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (2.2)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделен квадрат неизвестной :

=. (2.3)

2). Так как в записи формы есть невыделенные квадратынеизвестных, то применим преобразованиеR¹, причём станем выделять квадрат переменной:

=·, или =·. (2.4)

Для замены в форме (1.3) переменной на переменную из преобразования (1.4) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (2.5)

Подставляя выражения ,, в запись (2.3) формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделены квадраты всех неизвестных. Получена запись квадратичной формы в каноническом виде: =. (2.6)

3). Если применим преобразование: =,=,=, то квадратичная форма примет вид:

=. (2.7)

4). Воспользуемся цепочкой преобразований переменных:

===(2–2–2)=(––),

===,===,

A³:определяем линейное преобразование: =,=.

1). Приравниваем переменные , полученные преобразованием квадратичных форм и :

=→(+2–)=(––)→+2–=––,

=→–=,=→=. (3.1)

2). Разрешаем равенства (3.1) относительно переменных ,,:

=–3–6,=+3,=.

Замечание: к выполнению операции A³ мы приступили, убедившись, что формы и имеют одинаковые ранги и положительные индексы инерции при отсутствии отрицательных слагаемых в нормальной записи обеих форм.

Ответ: нормальный вид формы: ==. Невырожденное линейное преобразование переменных, переводящее форму в форму:=–3–6,=+3,=.

☻