Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

full

.pdf

Скачиваний:

128

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

ω1 = 2Tπ - основнаячастота.

Отыскание ряда Фурье для сложного гармонического сигнала, называется гармоническим или спектральным анализом. Составляющие этого ряда - циклические частоты, которые равны ω,2ω,3ω и т.д., называются соответственно первой (основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложногосигнала.

Каждая гармоника ряда Фурье характеризуется амплитудой Am и начальной фазой ϕm, и для коэффициентов разложения (2.3а) можно запи-

сать: am=Amcosϕm, bm=Amsinϕm.

Откуда

2 + b2 , и

= tgϕ

Тогда единственное решение (2.3)

представляется в более удобном

виде

S(t) =

∞

cos(m ω t −ϕ

)

( 2.4 )

∑

m =

Пример1.1 Найти спектральное преобразование последовательности прямо-

угольных импульсов спараметрами(см. рис.2.1а) четнымиотносительно t = 0 , T - период сигнала, τ - длительность импульса, A - амплитуда им-

пульса.

Отношение

= q

называетсяскважностьимпульсов.

Используя(2.3а), имеем:

2 T

2 τ / 2

;

∫S(t)dt =

∫ Adt =

τ A =

T −T

T −τ./ 2

2 T

S(t)cos(mω t)dt =

2 τ / 2

Acos(mω t)dt

sin mω t

τ / 2

2π

∫

sin

mω

mπ

−T

−τ / 2

mπτ

mπ

sin

−sin −

sin

mπ

S(t)sin(mω t)dt

τ / 2

Asin(mω t)dt = −

cos mω t

τ / 2

= 0

∫

mω

−T

−τ / 2

Используя выражение (2.3) для представления спектрального разложениясигнала, получим:

S(t)

=qA

=qА

2 A

∞

2 A

2π

mπ

+ 0]

∑

cos m

sin

m =1 mπ

mπ

∞

mπ

∞

2π

sin q

sin

+ 2

∑

cos m

+ 2 ∑

cos(m ωt)

mπ

m =1

∞

+ 2∑An cos(m ωt)

m=1

			mπ
			mπ

		sin	q
где	An =		q	. График такого спектрального разложения, для двух
где	An =	mπ		. График такого спектрального разложения, для двух
		mπ

крайнихслучаев, когда q >> 1(T >>τ) и q ≈1(T ≈τ) , показаннарис.2.1б.

Спектральное разложение периодического сигнала можно получить, используя в качестве базиса ортонормированных функций экспоненты с мнимымпоказателем, т.е.

U		0	= 1 ;	U		= exp(jω1t);
		0	T		1	T
			T			T
U	2		= exp(2 jω1t);	U	3	= exp(3 jω1t);
	2		T		3	T
			T			T
			19

T	U
T
		A
	0	A
	0

-τ/2	τ/2		τ	t

S(t)		S(t)
	A/q	A/q

а)

2π / T	2π /τ	ω	q ≈1,	T ≈τ	ω
q >> 1,	T >> τ
короткиеимпульсы, идущиеоченьредко				длинныеимпульсы, идущиечасто

б)

Рис.2.1 Спектральноепреобразованиепоследовательностипрямоугольныхимпульсов: а- видипараметрыпрямоугольныхимпульсов, б- спектральноепреобразование

= exp(kjω1t)

гдеk = 0, ±1, ±2...

ТогдарядФурьепринимаетвид:

S(t) = 1

∞

e jnω1t

(2.5)

∑

T n = −∞

= 1

T / 2

где

∫

S(t) e− jnω1tdt , Cn - коэффициентырядаФурье.

T −T / 2

Разложение(2.5) иногдапредставляютвболееудобномвиде

S(t) =

∞

e jnω1t ,

(2.5а)

∑

n = −∞

где

T / 2

S(t) e− jnω1tdt

∫

T −T / 2

Выражения (2.5) и (2.5а) являются разложением ряда Фурье в комплекснойформе.

Так как n принимает значения от -∞ до +∞, то из (2.5а) видно, что спектр сигнала содержит компоненты как с положительными, так и с отрицательными частотами. Обычно их объединяют в пары, т.е. по формулеЭйлера

j ω t + ϕ

− j ω t + ϕ

− jωt

jωt

e jω1t + C

e− jϖ1t

+ e

n +

n =

cosωt =

cos(nω1t + ϕn )

напряжения

Отрицательной

частоте

соответствует

вектор

(см.рис.2.2) из разложения (2.5), вращающийся по часовой стрелки, а положительнойчастотевекторвращающийсяпротивчасовойстрелки.

Cn=|Cn|

+ω

-ω

C-n=|Cn|

Рис.2.2 КомплексноепредставлениегармоникрядаФурье

2.2. Спектральнаяплотностьсигнала

Пусть S(t) - одиночный импульсный сигнал. Чтобы найти его спек-

тральное разложение надо мысленно дополнить его такими же сигналами периодически следующими через T. Тогда используя спектральное разложениевкомплекснойформеможнозаписать:

S (t) =

∞

e jnω1t

∑

•

n = −∞

скоэффициентамиразложения:

T / 2

−

1t dt

∫ S (t) e

− T / 2

Чтобы вернуться к одиночному импульсу надо период Т устремить

в бесконечность Т → ∞ , тогда частоты nω1

и (n +1)ω1 будут сколь угод-

ноблизкидругкдругуиихможнозаменитьнатекущуючастоту ω

∞

e− jωt dt

( 2.6)

∫ S(t)

− ∞

Тогда коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно-

сопряженные пары C

= A e jϕn

и C

− n

= A e− jϕn , и каждой паре соответ-

ствуетгармоническоеколебаниевида:

j nω t + ϕ

A e

− j nω t + ϕ

A e

n =

или осуществляя предельный переход, т.е. когда nω1 мало отличает-

сяот (n +1)ω1 , получим

+ ϕ

j ωt + ϕ

− j ωt

cos(ωt

+ ϕ

)

A e

+ A e

n = 2A

Рассмотрим бесконечно малый интервал Δω. В рамках этого интер-

вала будет содержаться N пар спектральных составляющих N = ω

= ωT

2π

(так как ω1=2π/T) с коэффициентами разложения Сn (2.6 ), представляющими собой комплексную амплитуду соответствующего единичного гармоническогоколебания, т.е.

		1	∞
A	=		∫ S(t) e jωtdt	(2.7)
		T
ω			− ∞

Так как в рамках интервала Δω таких колебаний будет N, то полную комплексную эквивалентную амплитуду получим, домножив (2.7) на 2 и N, т.к. спектрсигналасодержиткомплексносопряженныепары.

		2N	∞	2	ω T	∞
A	=		∫ S(t) e jωtdt =			∫ S(t) e jωtdt

ω		T	− ∞	2	π T	− ∞

Aω		1	∞		∞
	=		∫S(t) e jωtdt ;	S(ω)=	∫ S(t) e jωtdt	(2. 8 )

ω		π − ∞			−∞

Выражение S(ω) (2.8) называется спектральной плотностью сигна-

ла S(t) . Сучетомвышесказанного(2.8) принимаетвид

Aω	=	1	S(ω)	( 2.9)
		π
ω

С точки зрения физического смысла спектральную плотность можно представить как коэффициент пропорциональности между длиной мало-

го интервала частот	ω и отвечающей ему амплитудой гармонического
сигналасчастотой ω0	лежащейвнутри ω.

Пример 2.2. Найти спектральную плотность прямоугольного импульсаизображенногонарис.2.3а.

Используясоотношение(2.8) имеем:

∞

τ/ 2

+ j sin ωt)dt

S(ω) =

∫ U e jωtdt

= U ∫(cosωt

−∞

− τ/ 2

τ/ 2

= U

∫cos(ωt)dt +

∫ j sin(ωt)dt = 2U

∫cos(ωt)dt =

sin

− τ/ 2

Пусть ξ =

ωτ

, тогда

S(ξ) =

U τ

sin ξ

График нормированной спектральной плотности

S(ξ)

представлен

нарис.2.3б.

S(ξ)/S(0)

-τ/2

τ/2

-π	π	ξ
-2π		2π
	б)

Рис.2.3 Cпектральнаяплотностьпрямоугольногосигнала: а- форма ипараметрыпрямоугольногосигнала; б– графикнормированнойспектральнойплотности

3.Случайныесигналыишумы

3.1Математическийаппаратслучайныхсигналов

Раздел математики - теория вероятности, исследует случайные процессы. Отличительной чертой случайного процесса является то, что его значения (например: напряжение или ток) нельзя заранее предсказать. Поэтому, когда говорят о конкретной величине какого-нибудь случайного процесса (например: напряжение на зажимах разогретого до температуры

Трезистора), топодразумеваютегостатистическуюхарактеристику.

Втеориивероятностейвведеныпонятия:

-функции распределения случайной величины F(x) , т.е. вероятность

того, что случайная величина x из множества X примет значение, равноеилименьшеечем x0 . F(x) = P(xi ≤ x0 )

Дляфункциираспределениясправедливыдвапредельныхравенства:

F ( −∞ ) = 0 F (+ ∞)=1 (3.1)

- производная от функции распределения - есть плотность вероятности:

	P(x)=	dF(x)	.		(3.2)
	P(x)=		.		(3.2)
		dx
Плотностьвероятностиудовлетворяетусловиюнормировки,
∑Pi =1	т.е.			∞∫ P(x)dx =1	(3.3)
i				− ∞

Дляслучайныхвеличин x измножества X введеныпонятия:

•Математическое ожидание ( m ) - среднее значение, которое может приниматьслучайнаявеличина x :

_		∞	(3.4)
m = x	=	∫ xP(x)dx	(3.4)

−∞

•Дисперсия или среднеквадратичное отклонение (δx )2 , которое характеризует меру разброса результатов испытаний относительноматематическогоожидания.

∞

δ2x = ∫ (x − m)2 P(x)dx (3.5)

− ∞

Пример1 Равномерноераспределение.

Пусть случайная величина x может принимать значения из интервала xi ≤ x ≤ x2 , причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы равны.


		0, x	< x1

P(x)=	1			, x ≤ x ≤ x
P(x)=				, x ≤ x ≤ x	2
			1		2
	x2 − x1

		0, x	> x
			2

Функцию распределения находят путем интегрирования плотности вероятности.


			0, x < x1
xТЕК			x	− x1
F(x) =	∫ P(x)dx =		x	− x1	, x1 ≤ x ≤ x2
F(x) =	∫ P(x)dx =				, x1 ≤ x ≤ x2
− ∞		x2		− x1
				x > x2
		1,		x > x2

График плотности вероятности и функции распределения показан на рис.3.1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 243 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке dsd-11=ТКС

#
05.06.2015940.03 Кб86answers(dsd-11) from 01 to 12.doc
#
05.06.2015676.35 Кб85answers(dsd-11) from 13 to 24.doc
#
05.06.201523.59 Mб124answers(dsd-11) from 25 to 35.doc
#
05.06.20153.1 Mб128full.pdf
#
05.06.20151.81 Mб83img035.jpg
#
05.06.20151.67 Mб83img036.jpg
#
05.06.2015830.7 Кб92Kulakov.pdf
#
05.06.201538.91 Кб84tickets(dsd-11).doc
#
05.06.201532.26 Кб84tickets(dsd-12).doc