ВВЕДЕНИЕ В ARC РЕАЛИЗАЦИЮ БИКВАДА

Известно, что передаточная функция (ПФ) фильтра в общем выражается отношением полиномов: (3-1) (3-1), где, как правило, . При действительных коэффициентах корни полиномов могут быть либо действительными, либо комплексно–сопряженными, поэтому одним из способов реализации фильтра является разложение на произведение М простых дробей, в которых числители и знаменатели являются полиномами не выше второго порядка: (3-2).

Как интерпретировать такой вид ПФ? Рассмотрим систему, в которой друг за другом включены М подсистем, так что выход предыдущей является входом последующей. Тогда ПФ системы равна:

Из выражения (3.3) очевидно, что если ПФ всей системы равна произведению всех ПФ всех подсистем, то подсистемы включены последовательно друг за другом. Итак, необходимо уметь реализовать подсистему фильтра, описываемого рациональной дробью с числителем и знаменателем 2 – го порядка. Такой фильтр называется биквадом.

Имеем ПФ биквада: . (3-4). Знак «минус» перед дробью не играет принципиальной роли, но с ним реализация получается проще.

В дальнейшем в записи ПФ биквада будем следовать традиции, сформировавшейся при решении в электротехнических задачах дифференциальных уравнений второго порядка:

Итак, имеем: (3.5)

Здесь - частота полюса и - добротность полюса в выражении для . Предполагается, что в общем случае полюсесть комплексное число и сопряженное к нему.

В

Рис.3.1. Иллюстрация определений для выражения 3.6.

водятся определения: и

(3.6)

На Рис. 3.1. изображена комплексная s – плоскость, иллюстрирующая определения (3.6). Если велика (порядка 10 или больше), полюс относительно близок к - оси. При этом имеет острый пик около .

Перепишем (3.5) в виде:

.

Делим обе части на и проводим перекомпоновку:

(3.7)

Функциональная схема биквада, описываемая уравнением (3-7), приведена на Рис. 3-1.

Н

Рис.3-1. Функциональная схема биквада

айдем электротехническое воплощение алгебраических многочленов в формуле (3-5) и на Рис.3-1. Для этого отметим, что при записи уравнений Кирхгофа узел А инвертирующего входа ОУ в активном интеграторе вместе с интегрирующим конденсатором С выполняет роль коллектора токов компонентов, подключенных к этому узлу.

Найдем ПФ интегратора с входной переменной, представляющей ток I_IN и выходной переменной, представляющей напряжение V_OUT (см. Рис.3 -2.). Итак: ; . Если , то , что и требовалось.

Т

Рис.3.2. Активный интегратор с токовым входом

еперь найдем ПФ параллельной RC цепочки, но, наоборот, с напряжением на входе и с током на выходе. Дополнительное условие: потенциал токового выхода поддерживается равным нулю, предполагая, что он должен быть подключен к инвертирующему входу идеального RC интегратора с токовым входом на Рис. 3.2. Итак, имеем:

, и

Рис.3.3. Параллельная RC цепочка

Сравниваем со схемой на Рис. 3.1. и находим блок, содержащий многочлен переменной s. Поскольку коэффициент при переменной s обязательно должен содержать емкость С, то делаем вывод, что коэффициент есть значение емкости, а свободный член есть обратное значение сопротивления, т.е. значение проводимости. Аналогично и - также значения проводимостей, а и - значения сопротивлений. Согласно нашим рассуждениям, член является также значением сопротивления, но отрицательным. Этот факт не должен вызывать затруднений, поскольку это просто означает, что перед резистором с положительной величиной должен находиться инвертор сигнала.

Рис.3.4. ARC реализация биквада

Итак, АRC реализация биквада приведена на Рис. 3.4.

Следует обратить внимание на то, что в ARC фильтрах ведущую роль играют АКТИВНЫЕ ИНТЕГРАТОРЫ, являющиеся основой элементной базы.

Разумеется, ни в интегральных ARC фильтрах, ни в фильтрах на дискретных компонентах, не используют номинал С=1(F) конденсатора и R=1(Ohm) резистора. Существует метод так называемого масштабирования.

Запишем, например, для узла В уравнение Кирхгофа: (3-8)

(напоминаем, что .

Разделим обе части уравнения (3-6) на m и сгруппируем члены:

(3-9)

Итак, уравнение (2-5) выражает правило:

Для установления реальных величин номиналов резисторов и конденсаторов, во всех ветвях, подходящих к узлу виртуальной земли, резисторы можно увеличить (уменьшить) в m раз, а конденсаторы – уменьшить (увеличить) также в m раз.

Однако, само по себе масштабирование не позволяет перешагнуть через физические ограничения на номиналы компонентов: интегральные конденсаторы трудно сделать емкостью, большей 50 пФ, а резисторы – больше 1Мом, причем такие компоненты имеют громадные площади, поэтому с их помощью практически нельзя создать фильтры звуковых частот порядка более 3 – х. Концепция переключаемых конденсаторов позволяет, во – первых, создавать низкочастотные фильтры большого порядка и, во – вторых, обеспечивать высокую точность частот срезов.

Реализация биквада путем прямой замены резисторов на ПК

Предположим, что резисторы имитируются переключаемым конденсатором (ПК) с частотой переключения F_s, много большей наивысшей частоты сигнала, поступаемого на вход фильтра. Тогда R_EFF =1/C_s*F_s. Здесь R_EFF – номинал эквивалентного резистора; С_S – переключаемый конденсатор; F_S – частота переключения. Заменим каждый резистор на ПК, причем любой резистор с именем R_i заменим на ПК с именем С_Si.

Рис.3.5. Схема биквада после прямой замены резисторов на ПК

Отметим , что все ПК не изолированы друг от друга . У некоторых ПК (C_S1 и С_S2), левые обкладки имеют одинаковый потенциал в любом из положений ключей ( 1 или 2) , что позволяет объединить "местные" ключи принадлежащие одному из ПК , в один общий , обслуживающий несколько ПК. Одинаковый потенциал имеют правая обкладка C_S1 и левая обкладка C_S4, правые обкладки C_S2 и C_S3 и левая обкладка C_S5, правые обкладки C_S4 и C_S5. Благодаря этому счастливому обстоятельству, схему можно перерисовать в виде:

Рис.3.6. Упрощенная схема биквада после объединения узлов с одинаковыми потенциалами.

Отметим значительную экономию количества ключей . В результате данная схема имеет каноническую конфигурацию биквада на ПК.

Вернемся к замечанию по поводу знака передаточной функции биквада.

Если передаточная функция имеет вид : ,то после преобразований получим:

Как можно видеть , отрицательной величиной теперь является не только резистор величины , но и конденсатор величины . И если отрицательный резистор можно реализовать просто в виде инвертирующего ПК , то для реализации отрицательного конденсатора в любом случае последовательно с ним должен находиться инвертор. Это обстоятельство затрудняет реализацию неинвертирующего биквада, если использовать классические ОУ, т.е. с одним выходом. При использовании нового класса полностью дифференциальных ОУ дополнительный инвертор не нужен (см. рисунок ниже).

Рис. 3.7. Полностью дифференциальный интегратор на базе полностью дифференциального ОУ.

В полностью дифференциальных ОУ выходным напряжением является не напряжение между выходом и аналоговой землей, а между выходами, т.е. удваивается. При этом:

• В 2 раза увеличивается отношение сигнала к собственному шуму схемы;

• ввиду симметричной внутренней структуры ОУ теоретически устраняются все внешние наводки;

• увеличивается быстродействие ОУ.

Изложенные достоинства перекрывают недостаток, заключающийся в необходимости иметь в схеме почти в 2 раза больше ПК и интегрирующих конденсаторов.