2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида такой же, как и для правой части вида неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида :
1) частное решение
неоднородного уравнения ищем в виде
=
,
если ни один из корней характеристического
уравнения не совпадает с числом
,
построенном по виду правой части
неоднородного уравнения (нерезонансный
случай);
2) если характеристическое
уравнение имеет комплексно сопряженные
корни и один из них совпадает с числом
,
то имеем резонансный случай и частное
решение ищем в виде
=
.
Значения «неопределённых коэффициентов» и вычисляем способом, изложенным в п.2.4 и ниже в примерах.
Пример 2.6.
Решить уравнение:
,
применив метод неопределённых
коэффициентов.
Решение. 1)
Характеристическое уравнение имеет
комплексно сопряженные корни
=
,
=
.
Общее решение однородного уравнения
=
=
.
2) Запишем правую
часть
исходного уравнения в виде
.
Ей соответствует число
.
Так как
,
то имеем резонансный случай и частное
решение
ищем в виде
=
.
3) Найдем производные
=
,
=
.
Подставляя функцию
и её производные в заданное уравнение,
получаем тождество, из которого находим
значения
=3,
=1.
Это значит, что
=
.
4) Составим общее
решение неоднородного уравнения
.
Ответ. Общее решение = + .
Пример 2.7.
Решить уравнение
,
применив «метод неопределённых
коэффициентов».
Решение. 1)
Характеристические корни уравнения
=
,
=
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения
=
=
.
2) Так как
=
,
частное решение
ищем в виде
=
,
где
и
подлежат вычислению.
3) Найдем производные
=
,
=
.
Подставляя функцию
и её производные в заданное уравнение,
получаем тождество, из которого находим
значения
,
.
Это значит, что
=
4) Составим общее решение неоднородного уравнения .
Ответ. Общее
решение:
.
Задание 2.5. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение: |
2.5.1. |
|
2.5.16. |
|
2.5.2. |
|
2.5.17. |
|
2.5.3. |
|
2.5.18. |
|
2.5.4. |
|
2.5.19. |
|
2.5.5. |
|
2.5.20. |
|
2.5.6. |
|
2.5.21. |
|
2.5.7. |
|
2.5.22. |
|
2.5.8. |
|
2.5.23. |
|
2.5.9. |
|
2.5.24. |
|
2.5.10. |
|
2.5.25. |
|
2.5.11. |
|
2.5.26. |
|
2.5.12. |
|
2.5.27. |
|
2.5.13. |
|
2.5.28. |
|
2.5.14. |
|
2.5.29. |
|
2.5.15. |
|
2.5.30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.