2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
Общее решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения
может быть записано в виде
,
где
– общее решение неоднородного уравнения,
– общее решение соответствующего
однородного уравнения,
– частное решение неоднородного
уравнения. Если правая часть неоднородного
уравнения имеет некоторый специальный
вид, то частное решение можно найти
методом неопределенных коэффициентов.
В данном пункте
рассмотрим метод для уравнения 2-го
порядка
с постоянными коэффициентами и правой
частью вида
,
где
– действительные числа.
Общий алгоритм решения со специальной правой частью указанного вида следующий:
1) Находим корни характеристического уравнения .
2) Если ни один из
корней
не
совпадает с
(нерезонансный случай), то частное
решение ищем в виде
,
где
и
–
неопределённые коэффициенты, подлежащие
вычислению;
3) Так как функция
должна быть решением заданного
неоднородного уравнения, то вычислив
,
и подставив функцию
и её производные в заданное уравнение,
получаем тождество, из которого находим
значения коэффициентов
и
.
4) Если (случай резонанса):
4.1)
,
то частное решение ищем в виде
.
4.2)
,
то решение частное решение ищем в виде
.
Если
,
где каждая из функций
имеет указанный выше вид, то частное
решение находят как сумму соответствующих
частных решений
.
Пример 2.4.
Решить уравнение:
,
применив метод неопределённых
коэффициентов.
Решение: 1)
Характеристические корни уравнения:
=1.
Общее решение однородного уравнения,
соответствующего заданному уравнению:
=
=
.
2) Так как
=
,
частное решение
ищем в виде
,
где
– неопределённый коэффициент.
3) Находим производные:
=
,
=
.
Подставляя функцию
и её производные в заданное уравнение,
получаем тождество
.
Упрощая, получим равенство
,
из которого находим значение
=
.
4) Записываем общее
решение неоднородного уравнения
=
+
.
Ответ. Общее решение: = + .
Пример 2.5.
Решить уравнение:
,
применив метод неопределённых
коэффициентов.
Решение: 1)
Корни характеристического уравнения
.
Следовательно, общее решение
соответствующего однородного уравнения
=
=
,
где
и
– функции фундаментальной системы
решений, а
и
– произвольные постоянные.
2) Так как , необходимо найти частные решения:
а) для правой части
=
,
при условии, что
ищем
=
;
б) для правой части
=
,
при условии, что
ищем
=
.
3) Подставляя функцию и её производные в уравнение с правой частью , получаем тождество, из которого находим значение =1.
4) Подставляя
функцию
и её производные в заданное уравнение,
получаем тождество, из которого находим
=
,
=
.
5) Учитывая
,
запишем
=
+
.
Ответ. Общее решение: = + .
Задание 2.4. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение |
2.4.1. |
|
2.4.16. |
|
2.4.2. |
|
2.4.17. |
|
2.4.3. |
|
2.4.18. |
|
2.4.4. |
|
2.4.19. |
|
2.4.5. |
|
2.4.20. |
|
2.4.6. |
|
2.4.21. |
|
2.4.7. |
|
2.4.22. |
|
2.4.8. |
|
2.4.23. |
|
2.4.9. |
|
2.4.24. |
|
2.4.10. |
|
2.4.25. |
|
2.4.11. |
|
2.4.26. |
|
2.4.12. |
|
2.4.27. |
|
2.4.13. |
|
2.4.28. |
|
2.4.14. |
|
2.4.29. |
|
2.4.15. |
|
2.4.30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.