Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии в среде МАТЛАБ.
Модуль 3. Кривые и поверхности второго порядка
Лабораторный практикум 3.1 Метод координат.
Авторы: кафедра ВМ-1
Модуль 3. Кривые и поверхности второго порядка.
Оглавление
Лабораторный практикум 3.1. Метод координат. 2
1.Системы координат. 2
2.Понятие уравнения линии 3
3.Построение линий различных порядков на плоскости. 5
4.Поворот системы координат 8
5.Задание на «5» 11
Лабораторный практикум 3.1. Метод координат.
1. Системы координат. 2 .Построение линий различных порядков на плоскости. 3. Поворот системы координат.
Системы координат.
Декартовой системой координатобычно называют прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом по осям координат. В плоскости она задается двумя взаимно перпендикулярными осями(ось абсцисс) и(ось ординат), пересекающимися в одной точкеO, называемой началом координат. Таким образом, положение любой точкина плоскости однозначно определяется двумя числами: первое число- величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на «положительную» часть оси, или с минусом, если на «отрицательную»), а второе число- величина проекции на вторую ось. Эти числа называются декартовыми координатами точки. Записьозначает, что точкаимеет декартовые координаты на плоскостии.
Говорят, что на плоскости введена полярная системакоординат, если заданы:
1. некоторая точка O, называемая полюсом;
2. некоторый луч , исходящий из точкиOи называемыйполярной осью.
Полярными координатами точки M называют два числа:полярный радиуси полярный угол -угол, на который следует повернуть ось для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора. Записьозначает, что точкаимеет полярный координатыи.
Пусть на плоскости введены:
правая декартовая система координат
(т. е. такая, что кратчайший поворот от оси к осипроисходит против часовой стрелки)
и полярная система ,
причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. Тогда связь между декартовыми и полярными координатами произвольной точки задается формулами
; или.
MATLABимеет встроенные команды для покоординатного перевода из одной системы координат в другую. Так, например, «cart2pol» переводит из картезианской (декартовой) системы координат в полярную или цилиндрическую систему координат в зависимости от числа аргументов.
Упражнение 1.
1. Наберите в командном окне « helpcart2pol»
help cart2pol
С помощью команды «[phi,r]=cart2pol(3,3)» мы можем получить полярные координаты некоторой точки с декартовыми (Cartesian- картезианскими) координатами (3;3).
[phi, r]=cart2pol(3,3)
phi =
0.7854
r =
4.2426
r=sqrt(3^2+3^2)
r =
4.2426
phi=pi/4
phi =
0.7854
Выводы:
Действительно, у точки с координатами (3,3) расстояние до начала координат
, а угол отклонения.
2. Наберите в командном окне « helppol2cart»
helppol2cart
С помощью команды «[x,y]=pol2cart(-pi/4, 2*sqrt(2))» мы можем получить декартовые координаты некоторой точки с полярным угломи радиусом длины. Мы должны будем получить декартовые координаты (2, -2).
[x,y]=pol2cart(-pi/4,2*sqrt(2))
x=
2
y=
-2
Выводы:
Как и следовало ожидать точка с полярными координатами будет располагаться в четвертом квадранте координатной плоскости.
Понятие уравнения линии
Предположим, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат и некоторая линия.
Рассмотрим уравнение , связывающее две переменныеи.
Уравнение называется уравнением линииотносительно заданной системы координат, если уравнениюудовлетворяют координатыилюбой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координатыини одной точки, не лежащей на линии.
Согласно этому определению сама линия представляет собойгеометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Если в заданной системе координат уравнение является уравнением линии, будем говорить, чтоопределяет линию.
Уравнение является уравнением окружности радиусас центром в точке.
Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением, в котором– алгебраический полином (т.е. сумма конечного числа слагаемых вида,– целые,– некоторая постоянная).
Если при этом – алгебраический полином порядка, линияназываетсялинией порядка .
Например, окружность – алгебраическая линия второго порядка.
- полярное уравнение n-лепестковой розы
При n=3,a=1 полярное уравнение трех лепестковой розыв декартовой системе координат представляет собой алгебраическое уравнение 4 порядка.
Возьмем функцию , заданную в полярных координатах, и попытаемся представить ее в виде уравнения в декартовых координатах.
=.
. |*
.
Таким образом, получаем уравнение той же линии (трех лепестковой розы)
Но наиболее ценным, полезным и неожиданным будет представление в декартовой системе координат одно лепестковых роз.