§ 4. Обобщающие примеры уравнений, допускающих понижение порядка.

Набор обобщающих Примеров, представленных ниже, предназначен оказать максимальную помощь студентам, испытывающим трудности при изучении темы: Уравнения, допускающие понижение порядка.

☺ ☻ ☺

Пример 7–1: Решить ДУ: = , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–А.

2). В результате первого интегрирования получаем: =+=+.

3). В результате 2-го интегрирования имеем: =+=++. Учтем:=–, и запишем общее решение заданного уравнения:

=–++.

Ответ: общее решение:=–++.

Пример 7–2: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит . Сразу учтем: =0 является решением уравнения → =– решение.

2). Примем: =, тогда и уравнение принимает вид: , или=. Теперь (уже учтено!).

3). После интегрирования получаем: =+, =. Из последнего интегрированием получаем: =, или – общее решение.

Замечание: 1). Из исходного уравнения можно заметить решение: =, то есть =+. Это же получим, если заметить при решении уравнения:=+«ситуацию» =0, что легко проверяется.

2). Догадаться о необходимости рассмотрения отдельно случая =0 при решении уравнения:=+нетрудно, если все время помнить, что каждое нарушение «эквивалентности преобразований» требует соответствующей «реакции».

Ответ: – общее решение. Также решения =; =+, которые из общего не получаются ни при каких значениях , .

Пример 7–3: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу– C: явно не содержит .

2). Примем: =→ и уравнение принимает вид: , или=. Интегрируем последнее: . Разрешим относительно производной: =.

3). Интегрирование уравнения: =дает:=x+. Из полученного выражения видим, что случай уравнения: =за счет выбора постоянной даст такое же решение:=. Последнее выражение можно записать в виде: , заменив произведениепостоянной .

Ответ: – общее решение.

Пример 7–4: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит . Из исходного уравнения имеем решение:, то есть =0.

2). Примем: =→ и перепишем уравнение: . Так как решение =0 уже учтено, то далее имеем:=. Интегрирование уравнения даёт:, или – уравнение с разделяющимися переменными.

3). Последнее уравнение запишем в виде: =→ интегрируем:.

Ответ: общее решение:, также.

Пример 7–5: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, что уравнение явно не «намекает» ни на какой из рассмотренных типов уравнений. Но, «по логике вещей», ему «придется быть» Типом– D. Действительно, исходное уравнение легко переписать в виде:.

2). Интегрирование уравнения даёт: – однородное уравнение. Решаем, применяя стандартный алгоритм:

3). Примем и запишем: ==. Исследуем равенство: , в нашем случае , – семейство прямых, проходящих через начало координат .

4). Теперь примем и вычислим интеграл==.

5). Для функции получено общее решение:=, или. Учитывая, что, перепишем общее решение использованием:.

Ответ: общее решение:, также, которое может быть получено из общего решения при значении произвольной постоянной .

Пример 7–6: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение Типа– E: однородность относительно переменных: . Из исходного уравнения имеем решение:.

2). Перепишем уравнение: x²=. Далее стандартно: примем=и вычислим производную:=. Учитываяи=, перепишем исходное уравнение в виде:– линейное уравнение → применим стандартный алгоритм, учитывая, чтои. Примем, гдеи.

3). Вычисляем интеграл: ==и записываем выражение:==.

4). Вычисляем: ==+ =.

5). Запишем общее решение линейного уравнения: =∙.

6). Учитывая =, запишем уравнение:– уравнение с разделяющимися переменными → интегрируем:, или.

Ответ: общее решение:, также.

Пример 7–7: Решить ДУ: , =1; =0.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–А.

2). Интегрируем 1-й раз: . Используя начальные условия, получаем: =1.

3). Интегрируем 2-й раз: . Используя начальные условия, получаем: =3.

4). Записываем частное решение для заданных начальных условий: .

Ответ: частное решение: .

Пример 7–8: Решить ДУ: = , =0; =1.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .

2). Примем: =→ .Уравнение принимает вид:, или=. Интегрируем последнее:, или. Для заданных начальных условий=1. Получено уравнение:.

3). В результате интегрирования имеем: . Для заданных начальных условий=0. Тогда можем записать:, причём.

Ответ: частное решение:, причём.

••• ≡ повторенье – мать ученья ≡ •••

Пример 7–9: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–А.

2). В результате первого интегрирования получаем: =+=– +.

3). В результате 2-го интегрирования: =+=–++.

Ответ: общее решение:=–++.

Пример 7–10: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Из исходной записи запишем решение: . Видим, уравнение относится к Типу–C: явно не содержит. Если внимательнее присмотреться, заметим в примере также Тип–D.

2). Перепишем уравнение: . Интегрируем последнее:.

Замечание: распространена ошибка: вместо записиприменяюти считают, что .

3). Получено уравнение: . Рассмотрим случаи:

▪ при =0 получаем решение:, или;

▪ при выборе знака получаем решение в виде;

▪ при выборе знака получаем решение:.

Ответ: решения: 1)и; 2); 3).

Пример 7–11: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение относится к Типу–В: явно не содержит .

2). Примем: =, тогда =и уравнение принимает вид: , или в стандартной форме: – линейное уравнение, гдеи . Решение уравнения ищем в виде:.

2). Вычисляем интеграл: ==и записываем выражение:==.

3). Вычисляем: ==+ =+.

4). Запишем общее решение уравнения: =∙.

5). Учитывая =, запишем уравнение:– уравнение с разделяющимися переменными. Его решение:

Ответ: – общее решение.

Пример 7–12: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, что уравнение явно не «намекает» ни на какой из рассмотренных типов уравнений. Но, «по логике вещей», ему «придется быть» Типом– D. Действительно, исходное уравнение легко переписать в виде:.

2). Интегрирование уравнения даёт: – уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его: – общее решение.

Ответ: общее решение:.

Пример 7–13: Решить ДУ: , используя метод понижения порядка.

Решение:

1). Видим, уравнение Типа– E: однородность относительно переменных: ,,. Из исходного уравнения имеем решение:.

2). Перепишем уравнение: 2–. Далее стандартно: примем; получим выражение ; перепишем исходное уравнение: – уравнение с разделяющимися переменными → интегрируем:, откуда: .

3). Учитывая , запишем: – уравнение с разделяющимися переменными → интегрируем:.

Ответ: общее решение:, также.

Пример 7–14: Решить ДУ: , =1; =0.

Решение:

1). Видим, уравнение Типа– E: однородность относительно переменных: ,,. Из исходного уравнения имеем решение:.

2). Если внимательнее присмотреться, заметим в примере также Тип– D:==1. Последнее легко интегрируется:. Для заданных начальных условий: =0.

3). Получили уравнение: → интегрируем:. Для заданных начальных условий: =0.

Ответ: частное решение для заданных начальных условий:.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. В чем смысл задачи понижения порядка дифференциального уравнения?

2. Какие типы уравнений используются в задаче понижения порядка ДУ?

3. Как решают уравнения типа: y⁽ⁿ⁾ = f(x)?

4. Как решают уравнения типа: F(x, y^(k), y^(k+1),… , y⁽ⁿ⁾) = 0?

5. Как решают уравнения типа: F(y,y′,y′′,…, y⁽ⁿ⁾) =0?

6. Как решают уравнения типа: (F(x, y, y′, y′′,…, y^(n–1)))′ =0?

7. Как решают уравнения типа: F(x, y, y′, y′′,…, y⁽ⁿ⁾) =0, причем функция F(...) – однородная относительно переменных y, y′, y′′,… , y⁽ⁿ⁾?

8. В каких ситуациях возможна потеря части решений дифференциального уравнения?

• ◄ ≡ ► •