§ 3. Применение уравнений, допускающих понижение порядка: задачи из геометрии.

В Главе 1 настоящего Пособия было показано применение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными в задачах из геометрии. Ниже представлены примеры, в которых дифференциальные свойства кривых линий изучаются с использованием дифференциальных уравнений 2-го порядка на основе геометрических свойств участвующих в выражение переменных.

ВГлаве 1, в § 3 настоящего Пособия получено выражения для вычисления отрезков:=− длина нормалии=− длина касательной для любой точки.

Применение производных 2-го порядка при исследовании функций и построении их графиков обнаруживает их простейшие геометрические свойства:

1). Если на некотором интервале >0, то на этом интервале монотонно возрастает. Так как геометрический смысл производной − угловой коэффициент касательной в выделенной точке кривой, то рост углового коэффициента касательной при движении по кривой линии сопровождается вращением касательной против часовой стрелки. На графике кривой мы видим, что линия выпукла вниз.

2). Если <0, то монотонно убывает на соответствующем интервале. Теперь, двигаясь по кривой, мы наблюдаем вращение касательной по часовой стрелке. На графике кривой мы видим, что линия выпукла вверх.

3). Условие =0 выделяет на кривой точку перегиба: линия меняет направление выпуклости на противоположное, то есть выпуклость вверх на выпуклость вниз, и наоборот.

Количественно оценивают скорость вращения касательнойпри движении по кривой линии средней величиной:, где величинаесть угол (радианная мера!), на который поворачивается касательная при переходе от точкив точку, а− длина части кривой между названными точками. Известно, что для произвольного отрезка окружностиверно:, где− радиус окружности. Это значит, что для любого отрезка окружности верно:==. Известно, что кривизна окружности вполне определяется её радиусом: чем меньше радиус, тем больше кривизна. В таком случае естественно назвать скорость вращения касательной при движении по окружности кривизной окружности, то есть=. Тогда, для произвольной линии величинаопределяетсреднюю кривизнуотрезка линии. Осуществляя предельный переход:=, получаем величину кривизны в точке. Представленные ниже рисунки иллюстрируют понятие кривизны для окружности и произвольной кривой линии:

В математическом анализе для вычисления кривизны линии в каждой её точке получена формула: =. Это значит, что радиус кривизны =. Учитывая смысл предельного перехода и используя представленные рисунки, заметим, что кривую в окрестности точки можно заметить окружностью радиуса . Центр этой окружности располагается на нормали кривой в данной точке, причём в той же полуплоскости относительно касательной, что и рассматриваемая кривая.

Используя выражение для радиуса кривизны , запишем формулу для вычисления проекции радиуса кривизны линии на ось для любой точки: =.

Используя понятия кривизны и радиуса кривизны линии, рассмотрим пример составления и решения дифференциального уравнения, учитывая совокупные геометрические свойства переменных , кривизны и радиуса кривизны .

☺☺

Пример 7–07: Найти уравнение кривой линии, для которой проекция радиуса кривизны на ось равна 1.

Решение:

1). Учитывая условие задачи: =1, запишем дифференциальное уравнение, соответствующее требуемым геометрическим свойствам кривой линии: .

2). Дифференциальное уравнение решают способом понижения порядка, принимая = → . Перепишем уравнение: , или . Интегрируя это уравнение, получаем: , или .

3). Так как =, из выражения следует: . Рассмотрим только случай со знаком . Учитывая, что =, получим уравнение: . При вычислении интеграла левой части применяем способ замены переменных. В результате получим: .

Замечание. Выражение общего решения можно преобразовать к виду более удобному для применения в задачах Коши: .

Ответ: общее решение , или .

☻