117

Часть 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Глава 7. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка

При изучении дифференциальных уравнений 1-го порядка для обозначения факта, что записанное выражение есть дифференциальное уравнение 1-го порядка, применялось выражение . Отмечалось, что при изучении многих теоретических вопросов наиболее удобной является нормальная форма записи уравнения:. Далее выделялись такие частные случаи записи уравнения, которые могли быть решены применением достаточно простых приёмов.

§ 1. Общие положения.

При изучении дифференциальных уравнений - го порядка для обозначения факта, что записанное выражение есть дифференциальное уравнение- го порядка, применяют выражение, причём присутствие в записи производной- го порядка:обязательно! При изучении теоретических вопросов будем применятьнормальную формузаписи дифференциального уравнения- го:=– уравнение разрешено относительно производной высшего порядка.

Мы следуем общечеловеческой логике познания мира: .. Это можно представить в виде символической схемы:

; → [общее] → ;=,

; = → [частное] → ;.

Для нас представленная логическая схема означает: максимально применить при решении уравнений - го порядка всё, что освоено в теории и практике дифференциальных уравнений 1-го порядка!..

§ 2. Уравнения, допускающие понижение порядка

К уравнениям - го порядка,допускающим понижение порядка, мы относим такие уравнения, которые реализуют технологическую цепочку:

→ [понижение] → → [понижение] → .

Из этой цепочки следует, что заданное уравнение (так подобраны Типы уравнений!) может быть приведено к виду уравнения , которое (так мы ожидаем!) умеем решать!..

Мы рассмотрим всего лишь некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающие понижения порядка.

2.1. Тип . Уравнение задано в виде: =.

Из определения производной - го порядка следует:==. Это значит, что дифференциальное уравнение=равносильно уравнению:=. Обозначим производную=. Это значит, что мы имеем уравнение:=– дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделёнными переменными. Его решение можно записать в виде:

=+, или=+. (1)

Из выражения (1) следует, что, применив способ решения дифференциального уравнения 1-го порядка, мы понизили порядок заданного дифференциального уравнения на 1, но тип уравнения при этом не изменился. Повторим действия понижения порядка уравнения типа :

===. (2)

Выражение (2) определяет общий алгоритм поиска решения =заданного дифференциального уравнения=: необходимо последовательнораз вычислить неопределённый интеграл некоторой функции независимой переменной.

Во введении были рассмотрены простейшие задачи с применением дифференциальных уравнений, которые были решены без применения теории дифференциальных уравнений: мы воспользовались понятиями производной и первообразной, и решили физические задачи, не прибегая к понятию дифференциального уравнения. Представляет интерес рассмотреть ещё раз задачу о свободном падении тел в поле тяготения Земли, применяя некоторые способы решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.

☺☺

Пример 7–01: Материальная точка массы свободно падает под действием силы тяжести . Найти закон движения этой точки. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение:

1). Учитывая допущение, что сопротивление воздуха не учитывается, в соответствии со вторым законом Ньютона, имеем: , где – ускорение тела под действием силы тяготения Земли . Так как =, где – ускорение свободного падения тела в поле тяготения Земли, запишем: , или .

2). Применив систему координат в виде неподвижной относительно Земли числовой оси (инерциальная система координат!), направленной в сторону падения материальной точки, то есть вертикально вниз, можем записать: , где – скорость движения тела. Так как , где – искомая функция времени, то есть закон свободного падения тела. В таком случае можем записать дифференциальное уравнение в виде:

=.

3). Нетрудно заметить, что полученное уравнение относится к типу для случая =. Так как рассматривают падение тела с небольшой (по сравнению с радиусом Земли) высоты, то принимают .

4). Применяя к уравнению = алгоритм последовательного понижения порядка (2), нетрудно записать общее решение этого уравнения: , где и – произвольные постоянные величины.

5). Для вычисления величин и , то есть для нахождения частного решения уравнения =, необходимо решить задачу Коши для начальных условий: и . Зная физический смысл уравнения: =, начальные условия , воспринимаются вполне конкретно.

Замечание: Далее мы увидим общее правило задания начальных условий при решении дифференциального уравнения - порядка.

Ответ: общее решение: , частное решение: .

Пример 7–02: Решить дифференциальное уравнение: =.

Решение:

1). Нетрудно заметить, что заданное уравнение относится к типу для случая =.

2). В результате первого интегрирования получаем: =+=+.

3). В результате второго интегрирования получаем: =+=+– общее решение.

Ответ: общее решение: =+.

☻

2.2. Тип . Уравнение задано в виде: .

Нетрудно заметить, что уравнение типа не зависит от функции. Так как, в частном случае, возможно значение=1, то есть, это значит, что в любом случае можно применять общий алгоритм решения такого уравнения. Для решения уравнения типа, будем использовать стандартный алгоритм:

1). Применим подстановку: =. Тогда=,=,…,=. Применяя эти величины, перепишем заданное уравнение в виде:

. (3)

2). Выражение (3) есть дифференциальное уравнение порядка , то есть порядок решаемого уравнения удалось понизить с- го до- го.

3). Предполагается, что уравнение (3) мы можем решить. Пусть общее решение этого уравнения записано в виде: =. (4)

4). Учитывая, что =, получаем дифференциальное уравнение:=. В этом уравнении легко угадываем уравнение типа. Применяя к этому уравнению стандартный алгоритм решения, получим общее решение заданного уравнения типа:

=. (5)

☺☺

Пример 7–03: Решить дифференциальное уравнение: =.

Решение:

1). Нетрудно заметить, что заданное уравнение относится к типу , так как запись уравнения не содержит .

2). Из исходной записи следует, что =1 есть решение уравнения. Запишем общее решение уравнения =1: =, где и – произвольные постоянные величины.

3). Применим подстановку: =и запишем=. Применяя эти величины, перепишем заданное уравнение в виде:=– уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения:, или=.

4). Получено уравнение: =, которое достаточно просто интегрируется: его общее решение запишем в виде: =.

Замечание: Решение уравнения в виде: = не может быть получено из решения .

Ответ: общее решение: =, также =.

☻

2.3. Тип . Уравнение задано в виде: .

Нетрудно заметить, что уравнение типа не зависит от переменной. Для решения уравнения типа, будем использовать стандартный алгоритм:

1). Применим подстановку: =, учитывая, что=. Тогда=и так далее: производные,...,требуют лишь знаний дифференцирования сумм и произведений функций, зависящих от переменной. Применяя эти величины, перепишем заданное уравнение в виде:

. (6)

2). Выражение (6) есть дифференциальное уравнение порядка , то есть порядок решаемого уравнения удалось понизить на 1.

3). Предполагается, что уравнение (6) мы можем решить. Пусть общее решение этого уравнения записано в виде: =. (7)

4). Учитывая, что =, остаётся решить уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Применяя к этому уравнению стандартный алгоритм решения, получим общее решение заданного уравнения типа:=. (8)

☺☺

Пример 7–04: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Нетрудно заметить, что заданное уравнение относится к типу , так как запись уравнения не содержит . Сразу учтём очевидное решение: =0.

2). Применим подстановку: =, учитывая, что=. Тогда=и перепишем заданное уравнение в виде:, или– однородное уравнение 1-го порядка. Переход ко второй записи осуществлялся делением на произведение. Проверим равенство:=0. Равенство=0 уже учтено. Равенство=0 не может быть решением: следует из исходной записи уравнения.

3). Интегрируем однородное уравнение , применяя стандартный алгоритм.

4). Примем = и запишем: =. Из условия: получаем решение: . Учитывая =, получаем частные решения заданного уравнения в виде: . Так как =, нетрудно получить решение: , куда войдёт и решение .

5). Принимая , запишем: уравнение в виде: =. Интегрируя это уравнение, получаем: , или , или (учитываем свойства произвольной постоянной величины).

6). Учитывая, что =, запишем: уравнение в виде: . Извлекая корень квадратный, получаем: =.

Замечание: Воспользуемся известным интегралом: = – из Справочника наиболее часто используемых интегралов.

7). Интегрируя уравнение (учитывая Замечание), получим: = – общее решение уравнения. Решение: = из общего решения получить не удаётся.

Ответ: общее решение: =, также =.

Замечание: 1). Пример может оказаться полезным при подготовке к зачетам и экзаменам, так как в нем используется одновременно несколькотехнологических приёмов.

2). Использование Справочника интеграловпоможет не только экономить текущее время, но инарабатыватьнавыкиинженернойработы синформацией!..

☻

2.4. Тип . Уравнение задано в виде: .

Нетрудно заметить, что уравнение типа есть полная производная функциипо переменной. Это значит, что уравнение типаесть уравнение- го порядка. Для решения уравнения типа, будем использовать стандартный алгоритм:

1). Заданное уравнение можно записать в виде: =0, которое после интегрирования может быть записано в виде:. (9)

2). Уравнение (9) имеет порядок на 1 меньше, чем порядок исходного уравнения. Предполагается, что уравнение (9) мы можем решить:

=– общее решение заданного уравнения. (10)

☺☺

Пример 7–05: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Можно заметить (не так просто!), что заданное уравнение относится к типу . Учитывая правила дифференцирования функции, перепишем заданное уравнение: – это уже без сомненья уравнение типа .

2). Из исходной записи следует, что = есть решение уравнения. Применяя первое интегрирование, получим: .

Замечание: Знак выбран, так как для последующего интегрирования учёт знака величины принципиально важен!

3). Рассмотрим случаи: а) =0, б) и в) :

а). =0 . Получаем уравнение: = . Его общее решение: .

б). . Получаем уравнение: = . Его общее решение: , или =.

в). . Получаем уравнение: = . Его решение: =, или в виде: = – общее решение.

Ответ: общее решение: , или =, или =; также решением является функция: = (из общего решения не может быть получено).

Замечание: 1). Многие замечают только вариант б), по привычке не учитывать знак используемого в выражении параметра:зевок(как говорят шахматисты).

2). Подсказкой учесть все возможные варианты значений постоянной является наличие разных исходов интегрирования уравнения:=в зависимости от величины.

☻

2.5. Тип . Уравнение задано в виде: .

Для уравнения типа установлено свойство: функция– однородная относительно переменных, то есть:

=. (11)

Для решения уравнения типа , независимо от порядка однородности, будем использовать стандартный алгоритм:

1). Применяем подстановку: =. Учитывая выражение:, вычисляем все производные:и их отношение к переменной величине. Это позволяет понизить порядок уравнения на 1.

2). Предполагается, что интегрирование полученного уравнение - го порядка осуществимо:

=. (12)

3). Используя уравнение =, с учётом выражения (12), можем получить общее решение заданного уравнения:=. (13)

Ниже рассмотрены Примеры, в которых иллюстрируются особенности решения уравнений типа : стандартный алгоритм не обещает просторы этих решений!..

☺☺

Пример 7–06: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Можно заметить (достаточно легко!), что заданное уравнение относится к типу . Запишем уравнение в виде: , причём, необходимо учесть решение =0.

2). Применим подстановку: =, или . Тогда: , или (учтено, что ).

3). Подставив в исходное уравнение выражения: = и , получим линейное дифференциальное уравнение в стандартной записи: =, где и . Применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения, принимая: =.

4). Вычисляем интеграл: ==и записываем функцию:==.

5). Вычисляем интеграл: ==+=+.

6). Запишем общее решение линейного уравнения: ==∙=.

7). Учитывая, что =, запишем уравнение:= – уравнение с разделяющимися переменными. В результате его интегрирования получим:= – общее решение. Заметим, что решение=0 может быть получено из общего решения при значении:=0.

Ответ: общее решение: =, также решением является функция: =0 (из общего решения может быть получено при значении: =0).

Замечание: Нетрудно заметить, решение уравнения типа требует большого внимания, как при распознавании типа уравнения, так и при реализации освоенного стандартного алгоритма!.. Рекомендуем периодически внимательно прорабатывать рассмотренный пример!..

☻

Ещё раз подчеркнём алгоритмическое сходство рассмотренных (специальных) уравнений: в каждом случае сначала устанавливается возможность понизить порядок уравнения, затем решение протекает по стандартному алгоритму.