§ 4. Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений.

Существование особых решений определяется нарушением условий Теоремы существования и единственности решений дифференциального уравнения – теоремы Коши. В Главах 1 и 5 рассматривались случаи, когда условия теоремы нарушались как в отдельных точках плоскости , так и во всех точках некоторой линии.

Отмечалось, что исследование решений дифференциальных уравнений наиболее просто в случае, когда уравнение записано в нормальной форме: . Именно такую форму записи уравнения мы применяем в Теореме о существовании и единственности решений дифференциального уравнения. Примем классификацию точек, в которых нарушаются условия Теоремы:

1). Точка не принадлежит области определенияфункции. Это значит, что эта точка не может использоваться в качестве начальных условий в задаче Коши и являетсяособой точкой. В общем случае особые точки заполняют линию: в этом случаеособых точек бесчисленное множество.

2). Если точка принадлежит области определенияфункции, но в ней не существует производная, то эта точка может использоваться в качестве начальных условий в задаче Коши. Далее будем различать случаи:

▪ в точке нарушена единственность решения → точкаособая;

▪ в точке не нарушена единственность решения → точкаобычная.

3). Если в каждой точке линии нарушена единственность решения уравнения, то линию, являющуюся решением уравнения, называютособым решениемуравнения.

Замечание: Согласно Определению 6.2 особым решением названо также решение, которое невозможно получить из общего решения!..

Рассмотрим несколько Примеров, в которых исследуются особенности применения Теоремы о существовании и единственности решений дифференциального уравнения.

☺☺

Пример 6–06: Задано уравнение: , . Найти общее и особое решения уравнения.

Решение:

1). Запишем уравнение в виде: . Так как для новой записи применено деление на переменную , то необходимо проверить, не является ли функция решением исходного уравнения. Так как , то не может быть решением заданного уравнения. Из новой записи уравнения следует, что решением может быть функция . Подстановка этой функции в исходную запись уравнения подтверждает, что функция есть решение уравнения.

2). Преобразованное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения нетрудно записать: , или – семейство окружностей.

3). Если для семейства окружностей попробовать построить огибающую линию (применив общий алгоритм), то её определяет система: откуда следует уравнение огибающей линии: , которая есть решение заданного уравнения.

4). Так как решение: не получается из общего решения, то это особое решение.

Ответ: общее решение: , особое решение: .

☻

В Главе 5 были рассмотрены уравнения Лагранжа. Применим результаты, полученные в настоящей Главе, к уравнению: , как общий метод исследования совокупности решений конкретного дифференциального уравнения.

☺☺

Пример 6–07: Задано уравнение Лагранжа: . Найти его общее и особое решения.

Решение:

1). Применим подстановку: = и перепишем заданное уравнение: , где, в соответствии с обозначениями уравнения Лагранжа, имеем: = и =.

2). Исследуем разность: . В нашем случае: =0 при значениях =0 и =1. Записываем соответствующие решения =+ уравнения:

а) для =0 → =0;

б) для =1 → =.

Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут ли решения: =0, = особыми, или нет.

3). Составим линейное уравнение: –=. В нашем случае (нетрудно получить) это уравнение может быть записано в виде: = – уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение запишем (избавляясь от логарифмов!) в виде: , или в виде .

4). Запишем общее решение уравнения в параметрической форме: Из этой системы удается исключить параметр и получить общий интеграл: .

5). Имея общее решение: , оцениваем полученные ранее частные решения. Решение из общего решения не получается ни при каком значении произвольной постоянной величины, значит это решение особое. Зато решение: получается из общего решения при значении =0 и оно всего лишь одно из частных решений уравнения.

6). Оформляем ответ: записываем общее решение и все частные, выделяя особое.

Ответ: – общее решение в параметрической форме, или ; выделено особое решение: .

☻