1. Математические методы физики / Лекции по методам математической физики. Ч

f(ξ)

1

Рис. 6.3: Фронт ударной волны уравнения Бюргерса при разных значениях параметра µ: сплошная линия — µ = 0.01, пунктир — µ = 0.03, точки — µ = 0.1.

Подставляя f в уравнение Бюргерса, получим обыкновенное уравнение второго порядка µ f 00 − f f 0 + V f 0 = 0, которое можно один раз проинтегрировать: µ f 0 − f 2/2 + V f = C1. Постоянная C1 = 0 находится по граничному условию при x → +∞, где функция f и производная f 0 обращаются в нуль. Из второго усло-

Решение как функция координаты ξ в сопутствующей системе отсчета изобра-

жено на рисунке 6.3, откуда видно, что при учете вязкости опрокидывания волны не происходит. Ширина фронта формирующейся ударной волны становится больше, если увеличить вязкость. Ширину фронта можно оценить и непосредственно из решения: δξ 2µ.

Уравнение Кортевега — де Фриза

Уравнение

ut + 6uux + uxxx = 0

описывает волны в плазме, на мелкой воде и во многих других ситуациях, где имеется простейшая нелинейность и слабая дисперсия. Ищем решение в виде уединенной бегущей волны u(x, t) = f (x − V t), которое обращается на бесконеч-

ности в нуль вместе со всеми производными. Получается обыкновенное уравне-

ние третьего порядка

f 000 + 6f f 0 − V f 0 = 0,

которое два раза интегрируется

Обе константы интегрирования C1, C2 тоже надо выбрать равными нулю, чтобы решение было уединенной волной, т.е. f = f 0 = f 00 = 0, ξ → ±∞. В этом случае

уравнение еще раз интегрируется совсем просто

VV − V − 2f

Третья константа C3 имеет смысл начала отсчета ξ. Если отсчитывать ξ от C3,

получится решение в виде

Решение называется простым солитоном, солитоном от английских слов solitary wave — уединенная волна, а простым потому, что ширина, амплитуда и скорость волны задаются одним параметром V . Из рис. 6.4 видно, как с ростом скорости V уединенная волна становится более узкой и высокой.

Как известно, оператор Лапласа в ортогональной системе записывается как

где коэффициент преобразования объема обозначен h = h1h2h3. В нашем случае

коэффициенты Ламе

где aij , bk , c — функции x = (x1, . . . , xn), квадратичная форма Q = aij pipj положительно определена. Требуется знать собственные функции ψn(x) и собственные

значения λn задачи в области D Rn

где ∂/∂n означает производную вдоль внутренней нормали к поверхности S, а функция f (x) определена на поверхности S. Обычно эти задачи называются

α= 1, β = 0 I краевая задача (или задача Дирихле)

α= 0, β = 1 II краевая задача (или задача Неймана) αβ =6 0 III краевая задача.

Если краевая задача (7.6) содержит нуль в правой части f = 0, то она называет-

ся однородной. Рассматриваются также краевые задачи, в которых граничная поверхность делится на части S = S1 · · · Sm и на каждой части ставится своя

задача α = αk, β = βk , f = fk; k = 1, . . . , m. Такую постановку называют смешан-

ной краевой задачей.

Пусть спектр отрицательный, т.е. все λn < 0, а система собственных функ-

ций полна.1 В этом случае можно найти решение линейного гиперболического уравнения с начальными условиями

и с теми же граничными условиями (7.6). Продемонстрируем, как строится решение.

Ищем решение в виде u(x, t) = T (t)ψ(x), тогда переменная t отделяется

а константа разделения получается отрицательной в силу отрицательности соб-

ственных чисел оператора ˆ. Решение обыкновенного уравнения дается форму-

L

лой T (t) = A cos ωt + B sin ωt. Зная полную систему собственных функций, мы

1Для полноты системы собственных функций дифференциального оператора в бесконечномерном гильбертовом пространстве самосопряженности недостаточно. Необходимо еще, чтобы собственные значения были ограничены сверху и λn → −∞, n → ∞. Подробное изложение тео-

рии, не предполагающей ограниченности операторов, имеется в учебнике Михлина [19].

можем искать решение в виде разложения с коэффициентами, зависящими от t, и получить обыкновенные уравнения на коэффициенты, приравнивая выра-

жения при одинаковых собственных функциях:

n

Обозначим λn = −ωn2 , тогда cn(t) = An cos ωnt + Bn sin ωnt. Теперь при t = 0 получа-

ется разложения в обобщенный ряд Фурье заданных начальных условий

Теперь, пользуясь ортогональностью системы функций, мы можем найти все коэффициенты An, Bn и построить решение задачи Коши (7.7).

Замечание 7.1. Если надо решить не гиперболическое уравнение, а параболическое с одним начальным условием

то разлагая, как и в гиперболическом уравнении, по собственным функциям, получим обыкновенные уравнения на этот раз первого порядка

c˙n = λncn cn = Ane−|λn |t.

Тогда все коэффициенты An найдутся с помощью разложения начального усло-

вия

X

φ(x) = Anψn(x).

n

Замечание 7.2. Все формулы метода Фурье можно вывести также с помощью преобразования Лапласа по t. В частности, для параболического уравнения (7.9)

проводя преобразование Лапласа

где контур γ для каждого конечного отрезка ряда замыкается полуокружностью большого радиуса R и охватывает полюсы подынтегрального выражения, ко-

торые лежат на левой действительной полуоси, рис. 7.1a. Вычисляя интеграл как предел суммы вычетов при R → ∞, получим то же самое разложение ре-

шения параболического уравнения. Для гиперболического уравнения полюсы

√

p = ±iωi = ±i −λi лежат на мнимой оси, как показано на рис. 7.1b.

Рис. 7.1: Контур γ в p-плоскости: (a) — для параболического уравнения, (b) —

для гиперболического.

Замечание 7.3. Если уравнение неоднородное, его можно решить, разлагая правую часть по системе функций ψn.

Упражнение 7.1. Методом преобразования Лапласа получите решение задачи

Коши для неоднородных уравнений ˆ и ˆ . utt = Lu + f ut = Lu + f