Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1. Математические методы физики / Лекции по методам математической физики. Ч

.1.pdf

Скачиваний:

177

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

ПРИЛОЖЕНИЕ A. СВОДКА ФОРМУЛ

110

Разложение в степенной ряд возле x = 0:

	Jν (x) =	∞	(−1)n(x/2)2n+ν .
		X
		n=0 n! (n + ν + 1)
Выражение через гипергеометрическую функцию:
	(x/2)ν		1
Jν (x) =		e−ix	1F1 ν +		; 2ν + 1; 2ix .
Jν (x) =	(ν + 1)	e−ix	1F1 ν +	2	; 2ν + 1; 2ix .

Рекуррентное соотношение:

2ν

Jν (x) = Jν−1(x) + Jν+1(x).

Формулы дифференцирования:

Jν (x) = Jν−1(x) − Jν+1(x) ,

x±ν Jν (x) =

x±ν Jν 1(x) .

Интегральные представления

Шлефли

и±Пуассона:

Jν (x) =

2πi

Zγ zν+1 exp

z − z

∞

dϕ

sin πν

eix sin ϕ−iνϕ −

dt e−x sh t−νt.

2π

−π

π/2

Jν (x) = √π (ν + 1/2)

1 = √π (ν + 1/2)

x	ν	Z	dϕ cos2ν (ϕ) cos (x sin(ϕ))

2
		0
x		1		1
x	ν	Z	dt eix t(1 − t2)ν−1/2, Re ν > −	1	.

2				2
		−1

Интегрирование идет по контуру γ, рис. A.1, начинающемуся и заканчивающемуся в −∞, обходящему точку z = 0 в положительном направлении.

Второе решение:

	1
Yν (x) =	sin πν hJν (x) cos πν − J−ν (x)i.

Асимптотическое поведение:


Jν (x) ' r	πx	cos x −	2	− 4		, x → +∞.
2			νπ		π

Случай полуцелого индекса:


J1/2	(x) = r	πx	sin x,	J−1/2	(x) = r	πx	cos x.
	2				2

ПРИЛОЖЕНИЕ A. СВОДКА ФОРМУЛ

111

Рис. A.1: Контур интегрирования γ, обходящий разрез −∞ < t ≤ 0 в положи-

тельном направлении.

Функции Бесселя целого порядка Jn

J−n(x) = (−1)nJn(x).

Производящие функции:

∞

		eix sin φ =
exp	2	z − z
	x	1

Соотношения ортогональности:

eimφJm(x),

m=−∞

∞

=znJn(x).

n=−∞

dx xJk(γnx)Jk(γmx) =

dγm

, Jk(γm) = 0 ,

δnm

dJk(γm)

δnm

dJk (λm)

dx xJk(λnx)Jk(λmx) =

−

λm2

dλm

Jk2(λm),

= 0 .

Модифицированная функция Бесселя Iν и функция Макдональда Kν

Дифференциальное уравнение для Iν (x), Kν (x):

x2 y00 + x y0 − (x2 + ν2) y = 0.

Разложение в степенной ряд возле x = 0:

∞ (x/2)2n+ν

Iν (x) = n=0 n! (n + ν + 1) .

ПРИЛОЖЕНИЕ A. СВОДКА ФОРМУЛ

112

Выражение через обычные функции Бесселя:

Iν (x) = e−iνπ/2Jν (ix).

Выражение для Kν через Iν , I−ν :

Kν (x) =

π [I−ν (x) − Iν (x)]

2 sin πν

Интегральные представления:

(x/2)ν

Iν (x) =

√

Z dt e−xt(1 − t2)ν−1/2 , Re ν > −1/2 ,

(ν + 1/2)

∞

−1

Kν (x) = Z0

dt e−x ch t ch νt, Re x > 0 ,

Kν (2√

ν/2

∞

) =

xν−1e−px−q/x dx,

Re p > 0, Re q > 0 .

Асимптотическое поведение:


Iν (x) ' r		2		ex,
			πx
			(x/2)ν
Iν (x) '					,
	(ν + 1)

(ν) Kν (x) ' 2


Kν (x) ' r				2x		e−x, x → +∞.
					π
	K0(x) ' − ln x, x → +0;
	x		ν
		−	, x → +0, ν 6= 0.
	2

A.4 Ортогональные полиномы

Полиномы Лежандра Pl

и присоединенные функции Лежандра Plm

Дифференциальное уравнение для Pl(x):

(1 − x2) y00 − 2x y0 + l(l + 1) y = 0.

Дифференциальное уравнение для Plm(x):

(1 − x2) y00 − 2x y0 + l(l + 1) − 1 − x2 y = 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ A. СВОДКА ФОРМУЛ

113

Формулы Родрига:

Pl(x) ≡ Pl0(x) =

(x2 − 1)l ,

2ll!

dxl

Plm(x) = (1 − x2)m/2

Pl(x) .

dxm

Первые 3 полинома:

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2

(x) =

3x2 − 1

Соотношение ортогональности:

(l + m)!

dx Plm(x)Plm0 (x) =

δll0 .

2l + 1 (l − m)!

−

Рекуррентное соотношение:

x(2l + 1)Pl(x) = (l + 1)Pl+1(x) + lPl−1(x).

Формулы дифференцирования:

(2l + 1)Pl(x) =

Pl+1(x) −

Pl−1(x) ,

lPl(x) = x

Pl(x) −

Pl−1

(x) .

Производящие функции:

∞

1 < x < 1.

rlPl(x), r < 1;

∞

√1 2xr + r

−

rl+1 Pl(x), r > 1;

l=0

представления:

Интегральные

Pl(x) =

√

dz z−l−1

2πi

−

2xz + z2

Pl(cos θ)

dϕ (cos θ + i sin θ cos ϕ)l .

Интегрирование идет по замкнутому контуру вокруг точки t = 0 в положитель-

ном направлении. Асимптотическое поведение:

sin

l + 1

θ + π

Pl(cos θ) '

√

, l|sinθ| 1.

πl

sin θ

ПРИЛОЖЕНИЕ A. СВОДКА ФОРМУЛ				114
Сферические гармоники Ylm
Ylm(θ, ϕ) = ClmeimϕP		\|m\|		(cos θ).
		l
Дифференциальные уравнения для Ylm:
	d
ΩYlm = −l(l + 1)Ylm, i			Ylm = −mYlm ,
	dϕ

где Ω - угловая часть трехмерного оператора Лапласа в сферических координа-

тах.

Соотношение ортогональности:

sin θ dθ dϕ Ylm(θ, ϕ)Yl0m0 (θ, ϕ) = δll0 δmm0 .

Соотношение полноты:

∞l

X X

Ylm(n)Ylm(n0) = δ(n − n0).

l=0 m=−l

Полиномы Эрмита Hn

Дифференциальное уравнение для Hn(x):

y00 − 2x y0 + 2n y = 0.

Формула Родрига:

Hn(x) = (−1)nex2 dn e−x2 . dxn

Первые 3 полинома:

H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2 − 2.

Соотношение ортогональности:

∞	dx e−x2 Hm(x)Hn(x) = √
Z			2nn! δmn.
Z		π	2nn! δmn.
−∞

Соотношение полноты:

e−(x2+x02)/2

√π

Рекуррентное соотношение:

∞ Hn(x)Hn(x0)

2nn!

n=0

= δ(x − x0).

Hn+1(x) − 2xHn(x) + 2nHn−1(x) = 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ A. СВОДКА ФОРМУЛ

115

Формула дифференцирования:

dx Hn(x) = 2nHn−1(x).

Производящая функция:

∞ zn

exp 2xz − z2 = n=0 n! Hn(x).

Интегральные представления:

	n+1ex2			∞		2		nπ
Hn(x) =	2 √			Z	dz zne−z		cos 2xz −
								2
			π
			∞	0
	2n					2
=	√		Z	(x + it)n e−t			dt.
		π

−∞

Полиномы Лагерра Lνn

Дифференциальное уравнение для Lνn(x):

x y00 + (ν + 1 − x) y0 + n y = 0.

Формула Родрига:

Lν

(x) =

x−ν ex

e−xxn+ν .

n! dxn

Первые 3 полинома:

L0ν (x) = 1, L1ν (x) = ν + 1 − x,

L2ν (x) = 21 (ν + 1)(ν + 2) − (ν + 2)x + 21 x2.

Соотношение ортогональности:

∞

(n + ν + 1)

dx e−xxν Lmν (x)Lnν (x) =

δmn.

Соотношение полноты:

∞ n!Lν

(x)Lν

(x0)

−(x+x )/2

ν/2

(xx

)

n=0 (n + ν + 1)

= δ(x − x

Рекуррентное соотношение:

(n + 1)Lνn+1(x) − (2n + ν + 1 − x)Lνn(x) + (n + ν)Lνn−1(x) = 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ A. СВОДКА ФОРМУЛ

116

Формулы дифференцирования:

Lnν (x) = nLnν (x) − (n + ν)Lnν −1(x) ,

Lnν (x) = −Lnν+1−1(x) .

Производящая функция:

∞

(1 − z)−ν−1 exp

= n=0 znLnν (x).

−

Интегральное представление:

Lnν (x) =

1 +

e−t 1 +

2πi

(−1)n

n+ν

etx

2πi

−tn

Здесь интегрирование идет по замкнутому контуру вокруг точки t = 0 в положи-

тельном направлении.

Литература

[1]Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, Сборник задач по классической механике, Наука, Москва, 1977.

[2]Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, Изд. 4е, Наука, Москва, 1988.

[3]Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, Изд. 4е, Наука, Москва, 1988.

[4]Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, Изд. 4е, Наука, Москва, 1989.

[5]И. В. Колоколов, Е. А. Кузнецов, А. И. Мильштейн, Е. В. Подивилов, А. И. Черных, Д. А. Шапиро, Е. Г. Шапиро, Задачи по математическим методам физики, Эдиториал УРСС, Москва, 2002.

[6]Н. Н. Лебедев, И. П. Скальская, Я. С. Уфлянд, Сборник задач по математической физике, ГИТТЛ, Москва, 1955.

[7]В. С. Владимиров, В. П. Михайлов, А. А. Вашарин, Х. Х. Каримова, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин, Сборник задач по уравнениям математической физики, Наука, Москва, 1974.

[8]М. М. Смирнов, Задачи по уравнениям математической физики, Наука, Москва, 1976.

[9]А.В. Бицадзе, Д.Ф. Калиниченко, Сборник задач по уравнениям математической физики, Наука, Москва, 1977.

[10]Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов, Сборник задач по математической физике, Наука, Москва, 1987.

[11]А. Н. Боголюбов, В. В. Кравцов, Задачи по математической физике, Изд. Московского университета, Москва, 1998.

[12]С. К. Годунов, Уравнения математической физики, Наука, Москва, 1971.

[13]Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, Гостехиздат, Москва, 1951.

117

ЛИТЕРАТУРА

118

[14]Ф. Трикоми, Лекции по уравнениям в частных производных, ИЛ, Москва, 1957.

[15]Ф. М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, Т.I, ИЛ, Москва, 1958.

[16]Р. Курант, Уравнения с частными производными, Мир, Москва, 1964.

[17]И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях в частных производных, Наука, Москва, 1961.

[18]С. Л. Соболев, Уравнения математической физики, Наука, Москва, 1966.

[19]С. Г. Михлин, Курс математической физики, Наука, Москва, 1968.

[20]А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, Наука, Москва, 1972.

[21]А. В. Бицадзе, Уравнения математической физики, Наука, Москва, 1978.

[22]Дж. Мэтьюз, Д. Уокер, Математические методы в физике, Атомиздат, Москва, 1972.

[23]R. B. Guenter, J. W. Lee, Partial differential equations of mathematical physics and integral equations, Dover, New York, 1996.

[24]Р. Рихтмайер, Принципы современной математической физики. Т.1, Мир, Москва, 1982.

[25]В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, Москва, 1978.

[26]В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, Москва, 1984.

[27]Дж. Уизем, Линейные и нелинейные волны, Мир, Москва, 1977.

[28]Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, Изд. 4е, Наука, Москва, 1988.

[29]И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, Москва, 1964.

[30]Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика, Часть I, Изд. 3е, Наука, Москва, 1978.

[31]А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, Наука, Москва, 1970.

[32]Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Наука, Москва, 1966.

ЛИТЕРАТУРА

119

[33]Л. И. Седов, Методы подобия и размерности в механике, Наука, Москва, 1967.

[34]У. Миллер, Симметрия и разделение переменных, Мир, Москва, 1981.

[35]Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш, Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, Наука, Москва, 1977.

[36]М. Абрамовиц, И. Стиган, editors, Справочник по специальным функциям, Наука, Москва, 1979.

[37]Г. Бейтмен, А Эрдейи, Высшие трансценентные функции. Т.II. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены, СМБ, Наука, Москва, 1974.

[38]Г. Бейтмен, А Эрдейи, Высшие трансценентные функции. Т.I. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, СМБ, Наука, Москва, 1973.

[39]Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Наука, Москва, 1976.

[40]Н. Г. Де Брейн, Асимптотические методы в анализе, ИЛ, Москва, 1961.

[41]А. Эрдейи, Асимптотические разложения, Физматгиз, Москва, 1962.

[42]Дж. Хединг, Введение в метод фазовых интегралов, Мир, Москва, 1965.

[43]Э. Копсон, Асимптотические разложения, Мир, Москва, 1966.

[44]Дж. Коул, Методы возмущений в прикладной математике, Мир, Москва, 1972.

[45]А. Найфэ, Методы возмущений, Мир, Москва, 1976.

[46]Ф. Олвер, Асимптотика и специальные функции, Наука, Москва, 1990.

[47]М. В. Федорюк, Асимптотика. Интегралы и ряды, СМБ, Наука, Москва, 1987.

[48]В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, Наука, Москва, 1989.

[49]В. Г. Зелевинский, Конспект лекций по квантовой механике, ч.II, НГУ, Новосибирск, 1970.

[50]П.В. Елютин, Д. В. Кривченко, Квантовая механика (с задачами), Наука, Москва, 1976.

[51]М. В. Федорюк, Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, Москва, 1983.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1. Математические методы физики

#
05.06.2015565.69 Кб102Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями.pdf
#
05.06.20151.13 Mб177Лекции по методам математической физики. Ч.1.pdf
#
05.06.2015893.26 Кб130Лекции по методам математической физики. Ч.2.pdf
#
05.06.201513.09 Mб164Математические методы физики.pdf
#
05.06.201521.55 Mб232Математический аппарат физики.pdf
#
05.06.201525.14 Mб279Методы математической физики. Том 1.pdf
#
05.06.201530.44 Mб277Методы математической физики. Том 2.pdf