2. Математические методы физики / Уравнения математической физики. Конспект лекций. МГУ
.pdf
Известно, что если φ C2(E), ψ C1(E), то решение задается формулой Даламбера:
u(x, t) = |
φ(x − at) |
2 |
+ 21a |
x+at |
|||
Z |
ψ(ξ) dξ. |
||||||
|
|
+ φ(x + at) |
|
|
|
|
|
x−at
Теперь пусть в аналогичной задаче функции φ, ψ всего лишь непрерывны – то есть мы не можем воспользоваться формулой Даламбера.
Будем работать в полосе 0 < t 6 T . Потребуем, чтобы φ = ψ = 0 вне отрезка [−d; d], где d – некоторая константа. (Такое свойство обозначается как supp φ, ψ = [−d; d].)
Предположим, что существуют такие функции φn(x), ψn(x), что φn C2(E), ψn C1(E), причем φn(x) =
ψn(x) = 0 для |x| > 2d и
φn(x) φ(x);
ψn(x) ψ(x).
Для решения задач Коши, соответствующих функциям φn и ψn, справедлива формула Даламбера:
un(x, t) = |
φn(x − at) |
2 |
n |
|
|
|
+ 2a |
x+at |
||
(x + at) |
Z |
ψn(ξ) dξ = un(x, t) C2{E × [0; T ]}. |
||||||||
|
|
+ φ |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−at |
||
Назовем решением предел таких функций: |
|
(x, t) = |
lim un(x, t). |
|||||||
u |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
Определение будет корректным, если мы покажем, что в прямоугольнике Π = {(x, t) : −2d − aT 6 x 6 2d + aT, 0 6 t 6 T } последовательность un(x, t) равномерно сходится (очевидно, вне его все ее члены тождественно
равны нулю). Для этого докажем, что un – фундаментальная последовательность, то есть |
|
||||||||||||||
|
|
|
ε > 0 M : m > M, p > 0 |um+p(x, t) − um(x, t)| < ε (x, t) Π. |
|
|||||||||||
Оценим эту разность через формулу Даламбера: |
|
|
|||||||||||||
| |
u |
m+p |
(x, t) |
− |
u |
m |
(x, t) |
| 6 |
|φm+p(x + at) − φm(x + at)| |
+ |
|φm+p(x − at) − φm(x − at)| |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
x+at 2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
Z |
|ψm+p(ξ) − ψm(ξ)| dξ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
||||
x−at
Полученную сумму можно сделать меньше любого наперед заданного ε – это следует из равномерной сходимости, а, следовательно, и фундаментальности последовательностей φn, ψn.
Отсюда получаем, что
un(x, t) u(x, t), (x, t) Π, причем u(x, t) C[Π].
Кроме того, так как un(±(2d + aT ), t) = 0, то u(±(2d + aT ), t) = 0, и u(x, t) = 0 вне Π.
Построенная таким образом функция называется обобщенным решением в форме предельного перехо-
да.
Возникает вопрос: единственно ли такое решение (ведь последовательности φn, ψn мы выбирали произвольно)? Для ответа на этот вопрос возьмем любые две пары последовательностей φ1n, φ2n и ψn1 , ψn2 такие, что
( φ1n φ, φ2n φ; ψn1 ψ, ψn2 ψ.
Предположим, что им соответствуют два решения: u1(x, t), u2(x, t), являющихся пределами полученных по формуле Даламбера членов последовательностей u1n и u2n соответственно. Докажем, что u1(x, t) ≡ u2(x, t). Для этого оценим их разность:
|u1(x, t) − u2(x, t)| 6 |u1(x, t) − u1n(x, t)| + |u1n(x, t) − u2n(x, t)| + |u2(x, t) − u2n(x, t)|.
61
Первое и третье слагаемые стремятся к нулю в силу равномерной сходимости функций u1n и u2n к u1 и u2 соответственно. Оценим второе, применяя формулу Даламбера:
| |
u1 |
(x, t) |
− |
u2 |
(x, t) |
| 6 |
|
|φn1 (x + at) − φn2 (x + at)| |
+ |
|φn1 (x − at) − φn2 (x − at)| |
+ |
||
|
|
2 |
|||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 2a |
x+at |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Z |ψn1 (ξ) − ψn2 (ξ)| dξ. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x−at
Оно также стремится к нулю, так как последовательности φ1n, φ2n и ψn1 , ψn2 сходятся к одним и тем же функциям – к φ и ψ соответственно. Отсюда получаем равенство u1(x, t) и u2(x, t).
Обобщенное решение в смысле интегрального тождества
Другим примером применения обобщенных решений может быть случай, когда в уравнении Пуассона
|
|
|
u = −f(x, y, z). |
|
|
|
|
|||
функция f не является дважды |
дифференцируемой |
– |
то есть "нормального" решения нет (т.к. всегда |
u C |
2). |
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
Общий подход. Пусть в области Ω E |
с границей Σ функция u(x1, x2, x3) определяется уравнением |
|||||||||
L[u] = F , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
Xi |
+ c(x)u. |
|
|
||
|
L[u] = |
aij(x)uxixj + |
bi(x)uxi |
|
|
|||||
|
i=1 j=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Тогда сопряженный к L оператор задается так: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
M[v] = |
(aij(x)v)xixj − (bi(x)v)xi |
+ c(x)v. |
|
|
||||||
|
i=1 j=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Будем рассматривать только такие функции v, что v C2(Ω), supp v Ω (полностью внутри Ω). Известно, что, если u, v C2(Ω) ∩ C1(Ω), то справедлива формула (4.16):
ZZZ |
(vL[u] − uM[v]) dτ = ZZZ div P~ dτ = {формула Остроградского - Гаусса (5.3)} = |
ZZ (P,~ ~n) dσ. |
|
Ω |
Ω |
Σ |
|
|
|
~ |
обращаются в |
Из условий на v получаем, что функции v, vx, vy, vz, а, следовательно, и вектор-функция P |
|||
нуль на Σ. Отсюда получаем, что
ZZZ
(vL[u] − uM[v]) dτ = 0.
Ω |
|
Используем, что L[u] = F : |
|
ZZZ vF dτ = ZZZ uM[v] dτ. |
(4.20) |
ΩΩ
Полученное выражение для u называется обобщенным решением в смысле интегрального тождества. Таким образом, мы преобразовали исходное уравнение для u, "перебросив" требование непрерывной дифференцируемости на функцию v, потребовав также, чтобы она была не равна нулю лишь в области, лежащей строго внутри Ω.
62
5 Приложение. Вспомогательные формулы и определения
Определение. Пусть функция φ(x, y, z) задана в пространстве E3. Тогда ее градиентом называется векторфункция grad φ = {φx, φy, φz}, определенная всюду, где существуют все частные производные функции
φ(x, y, z).
~ |
~ |
{P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}. |
Определение. Пусть вектор-функция A(x, y, z) имеет вид A(x, y, z) = |
||
Тогда ее дивергенцией называется функция div ~ , определенная всюду, где существуют соот-
A = Px + Qy + Rz
ветствующие производные.
Пусть функция f(t) непрерывна на отрезке [t1; t2]. Тогда для нее справедлива теорема о среднем значении:
t2 |
|
|
tZ1 |
f(t) dt = f(t )(t2 − t1), |
(5.1) |
где t – некоторая точка из этого отрезка.
Пусть функция f(x, y, z) непрерывна в замкнутой области Ω. Тогда для нее справедлива обобщенная теорема о среднем значении:
ZZZ f(x, y, z) dx dy dz = f(P )VΩ, |
(5.2) |
Ω |
|
где P – некоторая точка из области Ω, а VΩ – объем этой области.
Пусть поверхность Σ области Ω состоит из конечного числа замкнутых кусков, имеющих в каждой точке касательную, причем любые прямые, параллельные координатным осям, пересекают ее либо в конечном числе
точек, либо |
по конечному числу отрезков. Тогда для функции ~ |
|
, где |
||||
1 |
|
|
|
A(x, y, z) = {P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)} |
|
||
P, Q, R C |
|
|
|
|
|||
|
(Ω) имеет место формула Остроградского-Гаусса: |
|
|
||||
|
|
|
|
ZZ (A,~ ~n) dσ = ZZZ div A~ dτ |
(5.3) |
||
|
|
|
|
Σ |
Ω |
|
|
Слова благодарности
Я выражаю искреннюю благодарность всем тем, кто помог мне в работе над данным конспектом: прежде всего нашему лектору – Денисову Александру Михайловичу, который не просто обеспечил меня материалами, но и помог исправить огромное количество ошибок; моим друзьям: Бекетовой Елене, чей конспект привнес в этот труд множество недостающих формул и пояснений, Поспелову Алексею – за постоянную помощь в решении технических проблем, Кругловой Елене – за моральную поддержку, в которой я так часто нуждался, а также всем тем, кто сподвиг меня на эту работу.
Без вас я бы не справился. Спасибо всем большое!!!
63
Содержание
1 Классификация уравнений с частными производными второго порядка |
2 |
||
2 |
Уравнения параболического типа |
3 |
|
|
2.1 |
Вывод уравнения теплопроводности в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
2.2 |
Уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной. Постановка основных задач |
4 |
|
2.3 |
Существование решения первой краевой задачи. Метод разделения переменных . . . . . . . . . . |
5 |
|
2.4 |
Принцип максимального значения для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
2.5 |
Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
|
2.6 |
Единственность решения общей краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
|
2.7 |
Существование решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
|
2.8 |
Единственность решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
2.9 |
Существование решения первой и второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на по- |
|
|
|
лупрямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
|
2.10 |
Функция Грина для первой краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
3 |
Уравнения эллиптического типа |
23 |
|
|
3.1 |
Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач. Фундаментальные решения уравне- |
|
|
|
ния Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
23 |
|
3.2 |
1-я и 2-я формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
|
3.3 |
3-я формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
|
3.4 |
Свойства гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
|
3.5 |
Принцип максимума для гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
3.6 |
Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
|
3.7 |
Единственность решения внешней задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
3.8 |
Внутренняя задача Неймана. Необходимое условие ее разрешимости. Единственность решения . |
31 |
|
3.9 |
Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
|
3.10 |
Потенциалы простого и двойного слоя. Потенциал двойного слоя с единичной плотностью . . . . |
35 |
|
3.11 |
Сведение внутренней задачи Дирихле к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода . . . . . |
39 |
4 |
Уравнения гиперболического типа |
41 |
|
|
4.1 |
Постановка задач для уравнения колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
|
4.2 |
Формула Даламбера. Существование, устойчивость и единственность решения задачи Коши . . . |
41 |
|
4.3 |
Характеристики уравнения в частных производных второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
|
4.4 |
Задача на полупрямой. Метод продолжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
|
4.5 |
Метод разделения переменных для доказательства существования решения первой краевой задачи |
46 |
|
4.6 |
Интеграл энергии. Единственность решения краевых задач для уравнения колебаний . . . . . . . |
49 |
|
4.7 |
Задача с данными на характеристиках. Эквивалентная система интегральных уравнений . . . . . |
51 |
|
4.8 |
Существование решения задачи с данными на характеристиках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
|
4.9 |
Единственность решения задачи с данными на характеристиках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
|
4.10 |
Сопряженный дифференциальный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
56 |
|
4.11 |
Метод Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
57 |
|
4.12 |
Обобщенные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
60 |
5 Приложение. Вспомогательные формулы и определения |
63 |
||
64