2. Математические методы физики / Сборник задач по математической физике
.pdfБ.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов |
|
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ |
|
Содержание |
|
(Номера страниц, относящиеся к ответам и решениям, даны курсивом) |
|
Предисловие к первому изданию |
7 |
Предисловие к третьему изданию |
8 |
Глава I. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в |
9 |
частных производных второго порядка |
|
§ 1. Уравнение для функции двух независимых переменных |
9 |
a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f(x, у) |
|
1. Уравнение с переменными коэффициентами (9, 144). 2. Уравнение |
|
с постоянными коэффициентами (10, 148). |
|
§ 2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функции n |
10 |
независимых переменных |
|
Глава II. Уравнения гиперболического типа |
12 |
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; |
12 |
постановка краевых задач |
|
1. Свободные колебания в среде без сопротивления; уравнения с |
|
постоянными коэффициентами (13, 152). 2. Вынужденные колебания |
|
и колебания в среде с сопротивлением; уравнения с постоянными |
|
коэффициентами (16, 165). 3. Задачи о колебаниях, приводящие к |
|
уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами |
|
(17,167). 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными |
|
коэффициентами, и родственные им (кусочно-однородные среды, |
|
сосредоточенные факторы) (18, 168). 5. Подобие краевых задач (22, |
|
178). |
|
§ 2. Метод распространяющихся волн (метод Даламбера) |
23 |
1. Задачи для бесконечной струны (24, 184). 2. Задачи для |
|
полупрямой (26, 191). 3. Задачи для бесконечной прямой, |
|
составленной из двух однородных полупрямых. Сосредоточенные |
|
факторы (30, 205). 4. Задачи для конечного отрезка (31, 208). |
|
§ 3. Метод разделения переменных |
32 |
1.Свободные колебания в среде без сопротивления (32, 220).
2.Свободные колебания в среде с сопротивлением (35, 230).
3.Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением (35, 234). 4. Колебания при неоднородности сред и других условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс (39, 255).
§ 4. |
Метод интегральных представлении |
41 |
|
1. Метод интеграла Фурье (41, 263). 1*. Переход к конечному |
|
|
интервалу методом отражений (45, 276). 2, Метод Римана (45, 277). |
|
Глава III. Уравнения параболического типа |
47 |
|
§ 1. |
Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; |
47 |
постановка краевых задач |
|
1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами |
|
(48, 283). 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; |
|
уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения |
|
(49, 287). 3. Подобие краевых задач (50, 289). |
|
§ 2. Метод разделения переменных |
51 |
1. Однородные изотропные среды. Уравнения с постоянными |
|
коэффициентами (51, 294). а) Задачи теплопроводности с |
|
постоянными граничными условиями и свободными членами (511 |
|
294), б) Задачи теплопроводности с переменными граничными |
|
условиями и свободными членами, зависящими от x и t (53, 302). в) |
|
Задачи диффузии (55, 307). г) Задачи электродинамики (55, 308). 2. |
|
Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с |
|
переменными коэффициентами и условия сопряжения (56, 310). |
|
§ 3. Метод интегральных представлений и функции источников |
57 |
1, Однородные изотропные среды. Применение интегрального |
|
преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой (57, 312). |
|
2. Однородные изотропные среды. Построение функций влияния |
|
сосредоточенных источников (58, 316). а) Неограниченная прямая |
|
(59, 316). б) Полупрямая (60, 319). в) Конечный отрезок (64, 326). 3. |
|
Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с |
|
кусочно-постоянными коэффициентами и условия сопряжения (66, |
|
334). |
|
Глава IV. Уравнения эллиптического типа |
67 |
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа и |
67 |
постановка краевых задач |
|
1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной |
|
среде (67, 338). 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в |
|
неоднородных средах (68, 343). |
|
§ 2. Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона |
69 |
1. Краевые задачи для уравнения Лапласа (69, 348). 2. Краевые |
|
задачи для уравнения Пуассона (71, 353). |
|
§ 3. Функция источника |
72 |
1.Функция источника для областей с плоскими границами (72, 356).
2.Функция источника для областей со сферическими (круговыми) и плоскими границами (74, 366). 3. Функция источника в неоднородных средах (75, 374).
§ 4. Метод разделения переменных |
76 |
1.Краевые задачи для круга, кольца и сектора (76, 379),
2.Краевые задачи для полосы, прямоугольника, плоского слоя а параллелепипеда (79, 395). 3. Задачи, требующие применения цилиндрических функций (81, 407). 4. Задачи, требующие применения сферических и цилиндрических функций (82, 422).
§ 5. Потенциалы и их применение |
85 |
Глава V. Уравнения параболического типа |
89 |
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; |
89 |
постановка краевых задач |
|
§ 2. Метод разделения переменных |
91 |
1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций |
|
(91, 455). а) Однородные среды (91, 455). б) Неоднородные среды; |
|
сосредоточенные факторы (93, 462). 2. Краевые задачи, требующие |
|
применения специальных функций (94,466). а) Однородные среды |
|
(94, 466). б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы (97, |
|
483). |
|
§ 3. Метод интегральных представлении |
98 |
1. Применение интеграла Фурье (99, 490). 2. Построение и |
|
применение функций влияния мгновенных точечных источников |
|
тепла (101, 501). |
|
Глава VI. Уравнения гиперболического типа |
106 |
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; |
106 |
постановка краевых задач |
|
§ 2. Простейшие задачи; различные приемы решения |
110 |
§ 3. Метод разделения переменных |
115 |
1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций |
|
(115, 527). а) Однородные среды (115, 527). б) Неоднородные среды |
|
(117, 552). 2. Краевые задачи, требующие применения специальных |
|
функций (117,534). а) Однородные среды (117, 534). б) |
|
Неоднородные среды (122, 560). |
|
§ 4. Метод интегральных представлений |
122 |
1.Применение интеграла Фурье (122, 561). а) Преобразование Фурье (122, 561). б) Преобразование Фурье—Бесселя (Ханкеля) (123, 5615).
2.Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников (124, 570). а) Функций влияния мгновенных сосредоточенных импульсов (124, 570). б) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников (125, 576).
Глава VII. Уравнения эллиптического типа ∆ u+cu=-f |
127 |
|
§ 1. |
Задачи для уравнения ∆ u-\varkappa u=-f |
127 |
§ 2. |
Некоторые задачи о собственных колебаниях |
129 |
1.Собственные колебания струн и стержней (129, 686).
2.Собственные колебания объемов (130, 594).
§ 3. |
Распространение и излучение звука |
132 |
|
1. Точечный источник (133, 611). 2. Излучение мембран, цилиндров и |
|
|
сфер (134, 617). 3. Дифракция на цилиндре и сфере (136, 627). |
|
§ 4. |
Установившиеся электромагнитные колебания |
137 |
|
1. Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные формулы Грина — |
|
|
Остроградского (137, 633). 2. Распространение электромагнитных |
|
волн и колебания в резонаторах (139, 639). 3. Излучение электромагнитных волн (140, 650). 4. Антенна на плоской земле (142,
656). |
|
Дополнение |
668 |
I. Различные ортогональные системы координат |
668 |
1. Прямоугольные координаты (668). 2. Цилиндрические координаты |
|
(669). 3. Сферические координаты (669). 4. Эллиптические |
|
координаты (669). 5. Параболические координаты (670). 6. |
|
Эллипсоидальные координаты (670). 7. Вырожденные |
|
эллипсоидальные координаты (671). 8. Тороидальные координаты |
|
(672). 9. Биполярные координаты (672). 10. Сфероидальные |
|
координаты (673). 11. Параболоидные координаты (674). |
|
II. Некоторые формулы векторного анализа |
674 |
III. Специальные функции |
674 |
1. Тригонометрические функции (674). 2. Гиперболические функции |
|
(675).3. Интеграл ошибок (675).4. Гамма-функции (675). 5. |
|
Эллиптические функции (676). 6. Функции Бесселя (676). 7. |
|
Полиномы Лежандра (678). 8. Гипергеометрическая функция F(α, β, |
|
γ)(679). |
|
IV. Таблицы интеграла ошибок и корней некоторых характеристических |
680 |
уравнений |
|
Литература |
685 |
