1 семестр / Математический Анализ_1 / Kr2_Кучеренко
.docxВариант 3
1.
Найти
уравнение касательной и нормали к
графику функции
в точке
Построить графики функции, касательной
и нормали:
В отчёт: рисунок, уравнения касательной и нормали.
L=561/400-9093/2500*x - уравнение касательной
N =-50335973/90930000+2500/9093*x - уравнение нормали
2.
Разложить
функцию
по степеням
до 3-го и 4-го порядков. Построить графики
функции и многочленов Тейлора на
промежутке
В отчёт: рисунок, разложения по степеням.
x0=-2;
b(1)=subs(' exp(x^2-x)','x',x0);
for n=2:1:4
b=[b,subs(diff('exp(x^2-x) ','x',n),'x',x0)/factorial(n)]; end;
syms x
f=0;
for i=1:1:4
f=f+b(i)*(x-x0)^(i-1);
end
f
%f =
21291583172395437/17592186044416+7097194390798479/17592186044416*x-4893185544883463/4294967296*(x+2)^2+8871492988498099/4398046511104*(x+2)^3
grid on
hold on
x=x0-1:0.05:x0+1;
y1=exp(x.^2-x) ;
y2=21291583172395437/17592186044416+7097194390798479/17592186044416*x-4893185544883463/4294967296*(x+2).^2+8871492988498099/4398046511104*(x+2).^3;
>> plot(x,y2,'Color','black','LineWidth',2);
>> plot(x,y1,'Color','blue','LineWidth',2);
x0=-2;
b(1)=subs(' exp(x^2-x)','x',x0);
for n=2:1:5
b=[b,subs(diff('exp(x^2-x) ','x',n),'x',x0)/factorial(n)];
end;
syms x
f=0;
for i=1:1:5
f=f+b(i)*(x-x0)^(i-1);
end;
f
%f =
21291583172395437/17592186044416+7097194390798479/17592186044416*x-4893185544883463/4294967296*(x+2)^2+8871492988498099/4398046511104*(x+2)^3+4456293978376011/1073741824*(x+2)^4
grid on
hold on
x=x0-1:0.05:x0+1;
y1=exp(x.^2-x) ;
y2=21291583172395437/17592186044416+7097194390798479/17592186044416*x-4893185544883463/4294967296*(x+2).^2+8871492988498099/4398046511104*(x+2).^3+4456293978376011/1073741824*(x+2).^4;
>> plot(x,y1,'Color','blue','LineWidth',2);
>> plot(x,y2,'Color','black','LineWidth',2);
3.
Построить
график функции
Найти область определения, нули функции,
точки экстремума и значения в них, точки
перегиба, значения в них, значения
тангенса угла наклона касательной в
точке перегиба, найти односторонние
пределы в точках разрыва, уравнения
асимптот. Обозначить на графике
экстремумы, построить касательные в
окрестностях точек перегиба, асимптоты.
Указать множество значений.
В отчёт: рисунок, всё, что найдено.
График:
Область определения:
>> fzero('x^2-3*x-4',-1)
ans =
-1
>> fzero('x^2-3*x-4',4)
ans =
4
(x<-1)U(-1<x<4)U(x>4)
Нули функции:
>> fzero('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',1)
ans =
0.6380
Экстремальные точки
Минимум:
fzero('(-9*x^2-6*x)/(x^2-3*x-4)-(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)^2*(2*x-3)',-2)
ans =
-1.5267
subs('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',-1.5267)
ans =
1.9523
Максимум:
>> fzero('-((-9*x^2-6*x)/(x^2-3*x-4)-(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)^2*(2*x-3))',6)
ans =
7.9866
>> subs('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',7.9866)
ans =
-47.9443
График второй производной:
Точки перегиба:
fzero('(-18*x-6)/(x^2-3*x-4)-2*(-9*x^2-6*x)/(x^2-3*x-4)^2*(2*x-3)+2*(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)^3*(2*x-3)^2-2*(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)^2',0)
ans =
-0.1552
Значение функции в точке перегиба:
subs('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',-0.1552)
ans =
-0.5524
Значение тангенса угла наклона касательной:
diff('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)')
ans =
(-9*x^2-6*x)/(x^2-3*x-4)-(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)^2*(2*x-3)
subs('(-9*x^2-6*x)/(x^2-3*x-4)-(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)^2*(2*x-3)',-0.1552)
ans =
0.3174
Анализ разрывов:
>> limit('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',x,-1,'left')
ans =
Inf
>> limit('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',x,-1,'right')
ans =
-Inf
>> limit('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',x,4,'right')
ans =
-Inf
>> limit('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)',x,4,'left')
ans =
Inf
Уравнения асимптот:
Вертикальные:
x=-1
x=4
Наклонные
>> limit('((-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4))/x',x,-Inf)
ans =
-3
>> limit('((-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4))/x',x,Inf)
ans =
-3
>> k=-3
k =
-3
b=limit('(-3*x^3-3*x^2+2)/(x^2-3*x-4)-k*x',x,Inf)
b =
-12
y=-3x-12