Кострова Ольга МП-13

Индивидуальное задание.

Задание 1.

Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном базисе i, j, k.

Показать,что векторы a, b, c тоже образуют базис и найти координаты вектора

x в базисе a, b, c.

x = (−5; −5; 5), a = (−2; 3; 1), b = (1; 3; −1), c = (2; 4; 1).

Комментарии к заданию.

Надо составить матрицу из векторов a, b, c, подсчитать ее определитель, и если он не равен 0, то это - базис.

Используя правило Крамера, найдем координаты х в базисе a,b,c.

x={x1;y1;z1}

Выполнение на МАТЛАБе.

>> a=[-2;3;1];

>> b=[1;3;-1];

>> c=[2;4;1];

>> x=[-5;-5;5];

>> A=[a b c];

>> detA=det(A);

>> detA=det(A)

detA =

-25

(определитель не равен 0)

>> A1=[x b c];

>> A2=[a x c];

>> A3=[a b x];

>> x1=det(A1)/det(A)

x1 =

1.2000

>> y1=det(A2)/det(A)

y1 =

-3.4000

>> z1=det(A3)/det(A)

z1 =

0.4000

Задание 2.

2. Даны координаты точек A, B, C, D в правой прямоугольной системе

координат. Вычислить в формате rational: а)проекцию вектора AB на вектор

AD; б)площадь треугольника ABC;изобразить плоскость треугольника АВС,

изобразить векторы, участвующие в векторном произведении и результат

этого векторного произведения; как векторное произведение связано с площадью

треугольника АВС; в)объем тетраэдра ABCD. A = (4; −1; 3), B = (−2; 1; 0), C =

(0; −5; 1), D = (3; 2; −6).

Комментарии к заданию.

а) Чтоб найти проекцию AB на AD, нужно длину вектора АВ умножить на косинус угла между АВ и AD.

б)Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения вектора АВ на вектор AС. VP-векторное произведение.

S-площадь треугольника.

в) Площадь тетраэдра равна 1/3 площади параллелепипеда. Площадь параллелепипеда равна смешанному произведению векторов AB,AD,AC.

SMP-смешанное произведение. ST-площадь тетраэдра.

Выполнение в МАТЛАБе.

а)

>> A=[4;-1;3];

>> B=[-2;1;0];

>> C=[0;-5;1];

>> D=[3;2;-6];

>> AB=B-A;

>> AD=D-A;

>> dAB=sqrt(sum(AB.*AB));

>> dAD=sqrt(sum(AD.*AD));

>> cosABAD=cosABAD/(dAB*dAD);

>> Pr=dAB*cosABAD

Pr =

1574/385

б) >> VP=cross(AB,AС);

>> dVP=sqrt(sum(VP.*VP))

dVP =

5617/157

>> S=dVP/2

S =

5778/323

>> grid on, hold on

>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> axis square

>> line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')

>> box on

>> line([-6,-4,2],[2,-4,-6],[-3,-2,1])

в)

>> SMP=sum(AC.*cross(AB,AD))

>> ST=SMP/3

ST =

272/3

Задание3.

Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.

x1 + 2x2 + 3x3 = 11,

2x1 + x2 + 2x3 = 11,

3x1 + 2x2 + x3 = 11.

Комментарии к заданию.

Занесем коэффициенты при неизвестных системы в матрицу.

По методу Крамера найдем неизвестные.

Выполнение в МАТЛАБе.

>> a=[1;2;3];

>> b=[2;1;2];

>> c=[3;2;1];

>> d=[11;11;11];

>> D=[ a b c];

>> D1=[d b c];

>> D2=[a d c];

>> D3=[a b d];

>> X1=det(D1)/det(D)

X1 =

2.7500

>> X2=det(D2)/det(D)

X2 =

0

>> X3=det(D3)/det(D)

X3 =

2.7500