Практическая часть
В этой лабораторной работе мы рассмотрим дифференциальные уравнения второго порядка и построим фазовые плоскости для шести возможных корней дифференциального уравнения, используя программу MatLab.
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
Заменим вторую произвольную на , после чего получим систему уравнений:
Так как у нас даны корни решения характеристического уравнения, а само характеристическое уравнение имеет вид:
получается
Получив значения и , мы можем построить фазовую плоскость для данного дифференциального уравнения.
Рассмотрим пример выполнения лабораторной работы на варианте 1.
Даны корни i, -1i, 1i, -1 –1, 1 1, -1 1,
В качестве примера рассмотрим первый вариант:
Для первой пары корней получаем = 0, = 1.
Описанная выше система будет иметь вид
Для построения фазовой плоскости для данного дифференциального уравнения воспользуемся файлами программы MatLab ode 23 и vpol. Перед тем, как вносить какие-либо изменения скопируйте эти файлы и переименуйте, чтобы не изменять оригинальные файлы. В файле vpol задайте уравнение. Файла vl (переименованный vdpol) для нашего случая будет иметь вид:
Function yprime = vdpol(t,y);
Yprime = [1.*y(2); y(1)].
После того, как мы описали дифференциальное уравнение необходимо внести изменения в файл ol (переименованный ode 23). Исходная часть файла выглядит так:
t0 = 0;
tfinal = 10;
y0 = [0 1]; % Define initial conditions.
[t,y] = ode23(‘vdpol’, t0, tfinal, y0);
%paus %Strik any key to start ODE23 solution.
tol = 1.e-3; %Accuracy
trace = 1;
[t,y] = ode23(‘vdpol’, t0, tfinal, y0, tol, trace);
%plot(t,y), title(‘van der Pol equation time history’), pause
plot(y(:,1),y(:,2)), title(‘van der Pol equation – phase plane plot’), pause
clc
Но мы должны поставить вместо vpol имя своего файла с описанием дифференциального уравнения.
После этого запустите программу MatLAB и наберите имя файла o1.m
На дисплее отобразится результат: фазовая плоскость, характерная для первого случая.
После построения фазовой плоскости для первой пары корней, постройте фазовую плоскость для второй пары корней и т.д.
У вас должно получиться шесть приведенных ниже фазовых плоскостей:
Список вариантов:
№ варианта
1 |
I |
-1I |
1I |
-1, -1 |
1, 1 |
-1, 1 |
2 |
2I |
-12I |
12I |
-1, -2 |
1, 2 |
-1, 2 |
3 |
3I |
-13I |
13I |
-1, -3 |
1, 3 |
-1, 3 |
4 |
4I |
-14I |
14I |
-1, -4 |
1, 4 |
-1, 4 |
5 |
1I |
-2I |
2I |
-2, -1 |
2, 1 |
-2, 1 |
6 |
2I |
-22I |
22I |
-2, -2 |
2, 2 |
-2, 2 |
7 |
3I |
-23I |
23I |
-2, -3 |
2, 3 |
-2, 3 |
8 |
4I |
-24I |
24I |
-2, -4 |
2, 4 |
-2, 4 |
9 |
1I |
-3I |
3I |
-3, -1 |
3, 1 |
-3, 1 |
10 |
2I |
-32I |
32I |
-3, -2 |
3, 2 |
-3, 2 |
11 |
3I |
-33I |
33I |
-3, -3 |
3, 3 |
-3, 3 |
12 |
4I |
-34I |
34I |
-3, -4 |
3, 4 |
-3, 4 |
13 |
1I |
-4I |
4I |
-4, -1 |
4, 1 |
-4, 1 |
14 |
2I |
-42I |
42I |
-4, -2 |
4, 2 |
-4, 2 |
15 |
3I |
-43I |
43I |
-4, -3 |
4, 3 |
-4, 3 |
16 |
4I |
-44I |
44I |
-4, -4 |
4, 4 |
-4, 4 |
17 |
1I |
-45I |
45I |
-4, -5 |
4, 5 |
-4, 5 |
18 |
2I |
-5I |
5I |
-5, -1 |
5, 1 |
-5, 1 |
19 |
3I |
-52I |
52I |
-5, -2 |
5, 2 |
-5, 2 |
20 |
4I |
-53I |
53I |
-5, -3 |
5, 3 |
-5, 3 |