Matematika_EGE_2010_Zadania_tipa_S1-S5_Metod

Решение. В примере 1 дано графическое решение неравенства ( y x)(x y 1)(x 2) 0

(рис. 4), в примере 3 представлена аналитическая запись решения этого неравенства. Дадим ответ для данного неравенства с параметром a (рис. 21). Особые точки A(0,5; 0,5), B( 2;2), C( 2; 3) и особые

значения параметра: a 0,5 и a 2 . Выберем

области, содержащие знак плюс и решения уравнения F (a; x) 0 , где

F (a; x) (x a)(a x 1)(a 2) :

D1 (a; x) a 0,5; a x a 1 ;

D3 (a; x) a 2; x a ;

D5 (a; x) a 2; x a 1 ;

D7 (a; x) 2 a 0,5;a 1 x a .

Рис. 21

Пример 5. (ЕГЭ, 2003 г.). Найдите все значения a, при которых область определения функции

y a x 0,5 x a4 x0,5 x logx a a4,5 0,5

содержит ровно одно целое число. Решение. 1). Из определения логарифма

следует, что

2). Упростим выражение, стоящее в основании степени

a x 0,5 x a4 x0,5 x logx a a4,5

3). Из условия имеем

a x a4 a0,5 x0,5 0.

Применяя рационализации 4 и 5, получим

Для решения последнего неравенства используем метод областей (рис.22). Неравенству ( ) , учитывая условия ( ) ,

удовлетворяют координаты точек областей D3 , D7 и части областей D1 и D5 .

Рис. 22

При каждом значении a 0;1 в части области D1 бесконечное множество целых чисел, в части области D5 нет ни одного целого

числа, т.е. 0 a 1 не удовлетворяют условию задачи.

Объединим полученные значения параметра

a.

О т в е т: 3;5 .

Пример 6. (ЕГЭ, 2003 г.) Из области определения функции

y log7 aa a 7xx 44

взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите все значения a, при которых такая сумма будет больше 7, но меньше

11.

Решение. 1). Так как D log7 R , то имеем

70

Рис. 23

График уравнения F (x;a) 0 , состоящий из прямой a 1 (пунктирная линия) и гиперболы

a 7x 4 (пунктирная линия), разбивает x 4

первый координатный угол ( a 0 и переменная x принимает натуральные значения) на три области. Применяя метод областей, получаем необходимое множество точек плоскости:

области D1 и D3 (рис.23).

3). Решим уравнение a 7x 4 относительно x 4

переменной x и найдем x 4 4a . При a 7

0 a 1 решением является промежуток 0; ,

который содержит все натуральные числа. Эти значения параметра a не удовлетворяют условию задачи.

При a 1 решением является промежуток

1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15. Согласно условию задачи имеем неравенство

От в е т: 4; 39 .

9

Источники

1.ЕГЭ. Математика. Тематическая тетрадь.

11класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П.

71

И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство

«Экзамен», 2010.

2.Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.

3.ЕГЭ 2010. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., Захаров П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В. – М.: МЦНМО, 2009.

4.ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2010.

5.Панферов В. С., Сергеев И. Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: Ителлект-Центр, 2010.

6.Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2009. – (Федеральный институт педагогических измерений).

7.Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания. – М.:

МЦНМО, 2009.

8.Журнал «Квант»

9.Журнал «Математика в школе»

10.Десять правил расположения корней квадратного трехчлена/ Ш. Цыганов. – г. Математика (приложение «Первое сентября»), №18, 2002.

11.Неравенства с двумя переменными: графическое и аналитическое решения/ А. Корянов. – М.: Чистые пруды, 2008. (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 22).

12.Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы. Условия

ирешения. Вып. 1-16. – М.: Школьная Пресса, – (Библиотека журнала «Математика в школе»).

13.www.mathege.ru - Математика ЕГЭ 2010 (открытый банк заданий)

14.www.alexlarin.narod.ru - сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.