Необходимый признак сходимости.
В приложениях обычно применяются сходящиеся ряды. Поэтому важно знать признаки, по которым можно было бы судить, сходится данный ряд или нет.
Попробуйте установить связь между поведением общего члена ряда на бесконечности и сходимостью ряда, опираясь на результаты выполнения упр. 1.
Подтверждают или опровергают ряды, рассмотренные в упр. 1, следующие гипотезы:
а) Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю при .
б) Если последовательность членов ряда стремится к нулю при , то ряд сходится?
Подтверждение Ваших предположений найдете на следующей странице.
Необходимый признак сходимости.Если ряд сходится, то его-й член стремится к нулю при. Действительно, пусть ряд сходится, т.е. последовательность его конечных сумм имеет конечный предел при. Тогда для этой последовательности выполняется условие Коши: С учетом равенства , последнее выражение является определением того, что последовательностьстремится к нулю при. |
Подчеркнем, что мы установили лишь необходимый признак сходимости, т.е. такой,при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать лишь расходимость ряда.
Упражнение 2.Расходимость каких из следующих рядов можно доказать, используя необходимый признак сходимости? Обязательно провести доказательство «вручную» и, при желании, используяMATLAB:
А ) ; б).
Упражнение 3. Приведите два примерарасходящихсячисловых рядов (отличные от рассмотренных в упр. 3), общий член которых стремится к нулю. ИспользуяM-функцию из упр. 1, проиллюстрируйте примеры графически.
Сделав упр. 3, Вы проиллюстрировали, что стремления общего члена ряда к нулю недостаточно для сходимости ряда.
Общие свойства рядов.
1) Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. 2) Если ряды исходятся, а их суммы соответственно равныи, то сходится и ряд, причем его сумма равна. 3) Если ряд сходится и его сумма равна, то сходится и ряд, причем его сумма равна.
|
Практически в каждом учебнике по математическому анализу можно найти доказательства этих свойств (впрочем, Вы можете доказать их и самостоятельно, опираясь на свойства числовых рядов).
А что получится, если складывать расходящиеся ряды?
Упражнение 4.
а) Пусть ряд сходится,расходится. Что можно сказать о сходимости ряда? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из упр. 1.
б) Пусть ряды ирасходятся. Что можно сказать о сходимости ряда? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из упр. 1.
Признаки сходимости рядов с положительными членами
Рассмотрим некоторые признаки сходимости числовых рядов.
Признак сравнения.Пусть даны два ряда(1) и(2) , с положительными членами, причем. Тогда 1) если ряд (2) («больший») сходится, то и ряд (1) («меньший») сходится; 2) если ряд (1) («меньший») расходится, то и ряд (2) («больший») расходится. |
Например, рассмотрим ряд , полученный из ряда(упр. 1, п. 5) отбрасыванием первых двух членов. Его можно сравнить с рядом, сходимость которого ранее доказана (упр. 1, п.6). Так каки «больший» ряд сходится, то сходится и «меньший» ряд, а, значит, и ряд.
Предельный признак сравнения. Пусть даны два ряда ис положительными членами, 1) если одни из рядов сходится, то сходится и другой; 2) если одни из рядов расходится, то расходится и другой. |
Докажем, что расходится (гармонический) ряд(упр. 1 п. 4). Используем для сравнения ряд. Заметим, чтои найдем частичные суммы ряда:. Отсюда следует, что, т.е. рядрасходится. Но, значит, из расходимости рядаследует расходимость ряда.
Признак Даламбера.Если для рядас положительными членами существует предел , то ряд сходится в случаеи расходится в случае. |
Рассмотрим ряд .
Имеем , следователь, ряд сходится.
Интегральный признак Коши. Пусть функция определена для, положительна, монотонно убывает и для всехимеет место равенство. Тогда для сходимости числового ряданеобходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл(иными словами рядсходится или расходится одновременно с). |
Выясним, при каких сходится ряд. Положим(). Функцияположительна, монотонно убывает. Поэтому рядсходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл. Этот интеграл сходится прии расходится при. Значит, и рядсходится прии расходится при.
Упражнение 5.Опираясь на признаки сходимости, доказать:
а) ряд расходится; б) рядсходится;
в) ряд сходится; г) рядсходится;
д) ряд сходится; е)расходится.
(сделать дома и принести как часть отчета по лабораторной работе).