Лабораторная работа № 3 «Числовые ряды» (практикумы 3 и 4).

Числовой ряд. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Общие свойства рядов. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения рядов. Оценка остатка ряда.

Структура цикла с неопределенным числом повторений WHILE … END.

1. Числовой ряд. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел Рассмотрим выражение, представляющее собой «сумму бесконечного множества слагаемых». Оно называетсячисловым рядом, а сами числа-членами ряда. Член ряда с произвольным номеромназываетсяобщим членом.

Например, есть ряд с общим членом, аесть ряд с общим членом.

Числа , , и т.д. называются частичными суммамиряда. Обобщая:-я частичная суммаесть сумма первыхчленов ряда: .

В качестве примера рассмотрим ряд .. Члены этого ряда,, образуют геометрическую прогрессию с первым членоми знаменателеми, значит,-я частичная суммаэтого ряда является суммой первыхчленов геометрической прогрессии и может быть найдена по формуле,. Таким образом,.

Если последовательность частичных сумм ряда имеет конечный предел, т.е. существует число, то ряд называется сходящимся, а числоназывается суммой ряда. В этом случае также говорят, чторяд сходится к суммеи пишут. Если же равен бесконечности или не существует, то говорят, что рядрасходитсяили, что он не имеет суммы.

Продолжим рассмотрение примера. Для ряда конечный предел частичных сумм существует:. Следовательно, этот ряд сходится и его сумма равна.

Все упражнения аккуратно проделать и сделать дома в тонких тетрадях, и принести как часть отчета по лабораторной работе

Упражнение 1. СоздатьM-функцию, которая строит в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. При построении этой пары графиков использовать разные цвета и маркеры. В качестве входных параметровM-функции использовать формулуобщего члена последовательности и числорассматриваемых членов. В качестве выходных параметров вывести значения. Применить созданную М-функцию для исследования следующих рядов:

1) ; 2); 3); 4); 5); 6).

а) Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.

б) Для 1, 2 и 6 рядов доказать, опираясь на определение, выдвинутую гипотезу о сходимости (расходимости) ряда, и в случае сходимости ряда, найти точное значение суммы (сделать дома и принести как часть отчета по лабораторной работе; указание для 6-го ряда: общий член ряда разложить на сумму элементарных дробей и получить выражение для ).

Рекомендации к упр.1:

Как вариант, можно построить графики в одном графическом окне, но в разных графических областях, т.е. воспользоватьсяsubplot. В одной графической области построить,в другой.

В любом случае для наглядности получаемых результатов рекомендую включить паузу после каждого действия ,

А для автоматизации создания хорошей системы координат не писать , но написать

axis([-1 N+1 -1 max(a_n)+1]),

line([-1 0; N+1 0],[0 -1;0 max(S)+1],'LineWidth',1,'Color','black')